La force de marée est une force qui s'exerce cycliquement sur les couches superficielles de deux corps célestes qui tournent autour du centre d'inertie du système, et qui est à l'origine des marées (sur Terre, les marées océaniques, atmosphériques et terrestres). Elle résulte du déséquilibre entre la force d'attraction gravitationnelle des deux corps et la force d'inertie d'entraînement due au mouvement de révolution.
Principe Principe de base thumb|300px|Les forces d'attraction qu'exerce l'astre 1 sur les astres 2 et 3, notées F et F, peuvent se décomposer en une composante moyenne et une composante différentielle f et f. Cette composante différentielle tend à éloigner les astres 2 et 3 (haut) ou à les rapprocher (bas).
Imaginons deux masses d'un même côté d'un astre et alignées sur la direction de cet astre qu'on nommera par la suite « primaire » (mais qui n'est pas forcément le plus massif des trois), qui les attire. En vertu de la loi d'attraction universelle, la plus proche de l'astre sera plus attirée que l'autre et tendra donc à s'en séparer. Imaginons maintenant une autre configuration où la ligne qui joint les deux masses est perpendiculaire à la ligne qui va de leur centre de masse à l'astre. Les forces d'attraction ont des directions convergentes (vers l'astre) ; ainsi les masses auront une tendance à se rapprocher. Ainsi, l'astre primaire sera à la fois responsable du mouvement accéléré de l'ensemble des deux masses, plus précisément de leur centre de masse, mais aussi responsable de forces qui régissent le mouvement relatif de ces deux masses et qu'on appelle forces de marée. La force de marée est donc une interaction gravitationnelle indirecte entre ces masses induite par un ou plusieurs astres primaires.
L'expression exacte de cette force de marée sera dérivée plus loin. Le résultat essentiel, dans le cas le plus fréquent où une des masses, par exemple la Terre, est beaucoup plus grande que l'autre, par exemple une petite masse d'eau de l'océan ou un satellite de la Terre, et où la distance qui les sépare est beaucoup plus petite que la distance à l'astre primaire (la distance Terre-Lune par exemple), est que dans la configuration alignée cette force de marée est « centrifuge » et a pour intensité
où r est la distance de la masse d'eau au centre de la Terre, m la masse d'eau, R la distance Terre Lune (la Lune est l'astre primaire ici), la masse de la Lune, et G la constante universelle de la gravitation. Dans l'autre configuration envisagée, la force de marée est « centripète » et deux fois moins intense.
Cette force de marée, s'exerçant entre les constituants d'un satellite (dans ce cas, les deux masses considérées sont parties intégrantes d'un seul et même corps), tend à le déformer, voire parfois à le briser (voir la photographie de la brisure de la comète Shoemaker- par les forces de marée dues à Jupiter) lorsque la force de marée centrifuge l'emporte sur l'interaction gravitationnelle directe des deux parties ou sur les forces de cohésion de ces mêmes parties (voir ci-dessous la sous-section sur la limite de Roche).
Dans le cas où ce satellite a une rotation propre non synchrone avec sa révolution autour de l'astre, la déformation périodique qui en résulte est responsable des marées océaniques et/ou terrestres. De plus cette déformation périodique entraîne, par le biais des forces de friction, un échauffement du satellite. Ces forces de friction sont aussi à l'origine d'un couple qui tend à synchroniser sa rotation propre et sa révolution autour de l'astre, comme c'est déjà le cas pour la Lune qui nous montre toujours la même face. Ce même phénomène est également responsable du ralentissement progressif de la rotation de la Terre d'environ . Ces forces de friction sont enfin responsables de la modification de l'orbite, le satellite pouvant s'écraser sur l'astre ou, au contraire, s'en éloigner comme c'est le cas pour l'orbite de la Lune qui s'éloigne d'environ par an de la Terre.
Expression détaillée de la force de marée Notons m et m les masses des objets soumis à marée et et les forces exercées par l'astre primaire sur chacune d'elles. L'étude du mouvement relatif se fait dans un référentiel centré au centre de masse des deux masses, noté CM, et dont les axes sont fixes par rapport aux étoiles. Le mouvement d'ensemble des deux masses est régi par la force résultante
et son CM possède l'accélération . Ce référentiel n'est pas galiléen ; aussi à la force d'attraction, on doit ajouter la force d'inertie qui est l'opposé du produit de la masse par l'accélération. Ainsi la force de marée sur la masse 1 dans ce référentiel non galiléen est
avec l'indice t pour (marée en anglais), et l'expression opposée pour la . Dans la dernière expressionSi la masse n'est pas isotrope il y a des termes correctifs proportionnel à , négligeables dans la plupart des situations., on a utilisé l'écriture de la force gravitationnelle sur la
où est le vecteur qui part du CM de l'astre primaire et se termine au CM de la .
Dans la majorité des situations, le rapport m/m est petit et c'est pourquoi dans l'expression ci-dessus, ce qui fait disparaitre la de l'expression. C'est le cas en particulier de la force de marée induite par la Lune entre la Terre () et une masse d'eau de l'océan () ou un fragment de la croûte terrestre ou un satellite artificiel de la Terre. Alors le centre de est celui de la et on notera le vecteur qui va de l'astre primaire au CM de la masse lourde et le rayon vecteur entre les deux masses, comme sur la figure. On posera
m = m et . L'expression de la force de marée devient
On s'intéresse aux situations où r/R est très petit et où on peut utiliser le développement limité (avec ici), ce qui donne
Le premier terme non négligeable est la force de marée représentée en direction et intensité sur la figureUne manière rapide, mais qui n'explique rien, de dériver cette expression est d'écrire le potentiel gravitationnel total et de le développer en puissance de . On retrouve la force en prenant le gradient par rapport à du terme d'.
Évidemment, la force de marée exercée par la masse m sur M est l'opposée ; cependant ces forces n'ont pas le même support et elles engendrent un couple qui tend à aligner les trois astres. Notons, et ce n'est pas du tout intuitif, que les forces sont opposées pour deux points opposés de la masse M (par exemple l'un plus proche de l'astre primaire, l'autre plus loin du côté opposé ce qui explique le caractère semi-diurne de nos marées), et correspondent à des forces centrifuges maximales lorsque les trois masses sont alignées d'intensité et à des forces centripètes d'intensité deux fois plus faibles dans le plan équatorial à cette ligne c’est-à-dire .
On peut reprendre pas à pas le même raisonnement dans le cas où il y a plusieurs astres primaires induisant une action gravitationnelle indirecte entre les pour montrer que la force de marée totale est la somme vectorielle des forces de marée dues à chaque astre avec une intensité qui va comme le rapport de chaque astre primaire. C'est ainsi que les forces de marées sur et au voisinage de la Terre, dues au Soleil représentent la moitié de celles dues à la Lune (le Soleil est situé beaucoup plus loin que la Lune mais sa masse est beaucoup plus importante).
Limite de Roche
La force de marée centrifuge dans le cas où les deux masses et l'astre primaire sont alignés peut dépasser l'attraction gravitationnelle directe entre les deux masses. Imaginons par exemple que l'astre primaire soit une planète de masse volumique constante ρ, de rayon R donc de masse , que la masse m soit un satellite naturel de rayon R fait de matière de masse volumique ρ donc de masse . À la surface du satellite sur une masse test m = m, la force centrifuge de marée due à la planète est égale, ainsi que nous l'avons vu, à
où d est la distance du satellite à sa planète. Quant à la force d'attraction gravitationnelle que le satellite exerce sur la masse test, elle vaut, en vertu de la loi de Newton . Tant que la force de marée est inférieure à la force d'attraction, la masse test reste liée au satellite ; dès qu'elle devient supérieure la masse test est arrachée. Il existe une limite d de la distance de la planète au satellite, appelée limite de Rocheavec une majuscule, il s'agit d'un nom propre et non pas du matériau., donnée par F = F en deçà de laquelle le satellite se brise sous l'effet de la force de marée. Le calcul de cette limite est immédiat : .
Marées océanique et terrestre Cette force de marée due à la Lune et au Soleil entre la Terre et une masse d'eau de l'océan modifie périodiquement la surface du globe qui tourne sur lui-même, ce qui se traduit par les marées océaniques. Mais il en est de même pour un fragment de la croûte terrestre bien que solide ; ce phénomène constitue les marées terrestres. Il en résulte une déformation périodique de la surface de la Terre et des océans.
Pour estimer l'ordre de grandeur de cette déformation, imaginons le géoïde terrestre comme une goutte liquide statique. Sa surface doit être une équipotentielle de la somme des potentiels gravitationnel, centrifuge (rotation propre de la Terre) et de marée. Si on ne prend pas en compte ce potentiel de marée, cette équipotentielle est un ellipsoïde de révolution étudié par Maclaurin. À une altitude z au-dessus de cet ellipsoïde, le potentiel est g z où g est l'accélération locale de la pesanteur.
Il est facile de vérifier que le potentiel dont dérive la force de marée (avec la masse du point matériel considéré) est donné par
En prenant la Lune comme seul astre primaire (R est la distance Terre-Lune), l'équation de l'équipotentielle qui détermine la forme de la surface d'une goutte liquide est
Il existe deux points de la surface () du globe sur la droite partant du centre de la Terre vers la Lune ( parallèle à ) où la force de marée est maximale, centrifuge. Il existe une ligne de points, intersection du globe avec un plan perpendiculaire à cette droite passant par le centre de la Terre, tels que perpendiculaire à . Ainsi, en notant z et z les altitudes pour ces deux situations, l'égalité des potentiels s'écrit, en admettant que l'accélération locale de la pesanteur reste inchangée,
La différence d'altitude maximale z - z (marnage) due à la marée est de , soit, tenant compte de la relation , environ . Cette valeur vaut ; si on tient compte en plus de l'action du Soleil dans une configuration où Terre-Lune-Soleil sont alignés (syzygie) cette valeur monte à . La valeur réelle des marées océaniques diffère considérablement de cette valeur.
L'explication de cette différence repose sur de nombreuses considérations. Il y a d'abord un phénomène complexe de résonance. La période propre des océans est relativement longue, environ . Cela veut dire que si la Lune disparaissait soudain, le niveau des océans oscillerait avec une période de et une amplitude décroissant progressivement jusqu'à ce que l'énergie emmagasinée soit dissipée (cette valeur de est fonction uniquement de la gravité terrestre et de la profondeur moyenne des océans, on peut consulter l'article Tsunami). La Lune stimule les océans avec une période d'environ , la moitié du jour lunaire. Cette différence entre la période de la stimulation et la période propre d'oscillation explique le retard de marée d'environ six heures, c'est-à-dire que la marée basse se produit quand la Lune culmine supérieurement ou inférieurement, un résultat tout à fait opposé à l'intuition commune.
Entre en cause ensuite la topographie : avec une configuration en entonnoir (l'ensemble Manche/baie du mont Saint-Michel est l'un des exemples les plus fameux), l'effet de la marée est localement amplifié. Inversement, une mer fermée comme la Méditerranée connaît des marées faibles.