Cet article synthétise les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique. Pour plus de détails, voir le cours correspondant sur Wikiversité.
Règles simples
Produit Si et alors . On en déduit, si : pour tout , ; pour tout , .
Quotient En supposant, pour que les quotients soient définis, que et ne s'annulent pas au voisinage de , sauf peut-être en : si et alors . En particulier : si alors .
Puissances En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que et sont strictement positives au voisinage de : si alors, pour tout , .
Composition
Composition à droite par une même fonction Si et si alors .
Quelques cas de composition à gauche Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.
Somme, différence Si et si (au voisinage de ) et sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors .
Composition à gauche par le logarithme En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que et sont strictement positives au voisinage de :
si et si ou (ou plus généralement : si « ne s'approche pas » de 1), alors .
Composition à gauche par l'exponentielle .
Primitives Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point , alors leurs primitives qui s'annulent en sont équivalentes au point .
Contre-exemples Somme, différence Sans hypothèses supplémentaires , on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.
Par exemple, mais .
Composition à gauche par l'exponentielle De , on ne peut pas déduire .
En effet, .
Par exemple, mais .
Composition à gauche par le logarithme De , on ne peut pas déduire .
En effet, si alors , or en général .
Par exemple mais .
L'hypothèse que « ne s'approche pas » de 1 est indispensable.
Dérivation Si et si et sont dérivables, on ne peut pas conclure que .
Par exemple quand tend vers 0, et sont équivalentes, mais et , donc .
Voir aussi
Catégorie:Analyse réelle Equivalents