vignette|Construction graphique des premiers nombres de Pell.|300x300px En mathématiques, la suite de Pell et la suite de Pell-Lucas sont respectivement les suites d'entiers U(2, –1) et V(2, –1), cas particulier de suites de Lucas.
La première est aussi la 2-suite de Fibonacci.
Leurs termes sont dénommés respectivement nombres de Pell et nombres de Pell-Lucas.
Comme pour l'équation de Pell, l'appellation "suite de Pell" provient d'une attribution erronée de cette suite à John Pell par Leonhard Euler.
Définitions La suite de Pell et la suite de Pell-Lucas sont définies par récurrence linéaire double :
Autrement dit : on commence par 0 et 1 pour la première suite et par 2 et 2 pour la seconde, et dans chacune des deux suites, on produit le terme suivant en additionnant deux fois le dernier à l'avant-dernier.
On peut aussi écrire : et où et sont respectivement les polynômes de Fibonacci et de Lucas d'indice .
Quelques valeurs Les dix premiers nombres de Pell sont 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 et 985 et les dix premiers nombres de Pell-Lucas sont 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1 154 et 2 786 (pour les premiers, voir les suites et de l'OEIS).
Les étant tous pairs, c'est parfois plutôt les qu'on appelle nombres de Pell-Lucas..
La sous-suite des termes premiers de la suite de Pell est formée des nombres
2, 5, 29, 5 741 (pour les 23 premiers termes, voir )
et les indices correspondants (nécessairement premiers) sont
2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191 (pour les 31 premiers, voir ).
Terme général Les termes généraux de ces deux suites sont donnés respectivement par les formules :
Lien avec le nombre d'argent Les puissances successives du nombre d'argent 1 + sont donc voisines des nombres de Pell-Lucas quand est grand, et leurs quotients par voisins des nombres de Pell.
Par exemple :
Plus précisément,
pour tout , où désigne l 'entier le plus proche, pour tout , où désigne la partie entière supérieure.
Notes et références
Voir aussi
Suite de Fibonacci et suite de Lucas, deux autres cas particuliers de suites de Lucas Nombres de Delannoy dont les sommes diagonales donnent les nombres de Pell Nombres triangulaires carrés
Pell