En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres. vignette|Une illustration du théorème spectral dans le cas fini : un ellipsoïde possède (en général) trois axes de symétrie orthogonaux (notés ici x, y et z).
Le cas le plus élémentaire concerne les matrices symétriques représentant les formes quadratiques en dimension finie ; le théorème spectral correspondant, démontré par Karl Weierstrass en 1858, affirme que ces matrices sont toutes diagonalisables dans les réels, par l'intermédiaire d'un changement de base orthonormée ; un exemple de conséquence géométrique de ce résultat est l'existence, pour les quadriques non dégénérées, de trois axes de symétrie orthogonaux, les axes principaux, mais il a d'autres conséquences importantes dans des domaines mathématiques variés (équations différentielles, classification des formes quadratiques, calcul numérique, statistiques) ainsi qu'en physique, pour des questions de mécanique générale du solide ou du point.
La généralisation à la dimension infinie est l'objet de la théorie spectrale. Elle est indispensable à la physique du , par exemple en mécanique quantique.
Dimension algébrique de la propriété vignette|gauche|La sphère rouge représente la sphère unité pour la première forme, la figure bleue représente la sphère unité pour la deuxième forme dans la mesure où celle-ci est définie positive. La figure bleue est un ellipsoïde dont les axes sont orthogonaux pour la première forme.
Une quadrique est un objet structurant, un cas particulier essentiel est celui de la sphère, définir un tel objet dans un espace vectoriel revient à le munir d'une distance spécifique, dite euclidienne. Une méthode couramment utilisée consiste à utiliser une forme quadratique, c'est-à-dire une application de l'espace dans l'ensemble des réels positifs. La distance est définie comme la racine carrée de la forme quadratique du vecteur reliant les deux points. Utiliser la forme quadratique à la place de la distance est commode. Les racines carrées disparaissent, permettant une expression plus simple des formules. Ainsi, le théorème de Pythagore dans le plan s'écrit, si Φ est la forme quadratique associée à la distance et si θ1 et θ2 correspondent aux carrés des coordonnées dans une base orthonormée, par Φ = θ1 + θ2. Dans le cas d'une dimension finie n quelconque : Φ = θ1 + θ2 + … + θn.
Une telle forme correspond à un cas particulier de quadrique. Elle est aussi définie par un polynôme de degré deux. Il est néanmoins homogène, c'est-à-dire qu'il ne contient que des termes de degré deux. Une quadrique homogène définit une deuxième forme quadratique Ψ et en conséquence une autre distance. Graphiquement, le contexte de la propriété de l'article est illustré par la figure de gauche. La distance d'origine est définie par la sphère rouge et celle de la quadrique associée à Ψ, par l'ellipsoïde bleu. Il existe alors une base qui respecte l'orthogonalité des deux formes quadratiques. Si l'orthogonalité est respectée, il n'en est pas de même pour les longueurs. Ainsi, le vecteur unitaire de l'axe des x pour la distance originale (en rouge) est de longueur plus petite pour la nouvelle distance (en bleu), d'où la nécessité d'un coefficient s1 pour passer d'une distance à l'autre.
vignette|redresse|Seules les ellipsoïdes définissent une distance euclidienne. Un hyperboloïde définit une distance de nature différente, utilisée par exemple pour la relativité restreinte.
C'est en ces termes que Weierstrass exprime son théorème. Le vocabulaire évolue un peu avec le temps, le terme maintenant utilisé est celui de forme quadratique quand il parle de fonction homogène du second degré :
Un tel formalisme généralise la notion de distance. Les réels si n'ont aucune raison d'être tous positifs. Si tel n'est pas le cas, la sphère unité prend une apparence différente, analogue à un hyperboloïde. Une telle géométrie est utilisée en physique, dans le cadre de la relativité restreinte.
Enfin, il existe un pont entre les formes quadratiques et les applications linéaires, construit à l'aide du produit scalaire. Il est ici noté ⟨∙, ∙⟩, c'est-à-dire que le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté ⟨u, v⟩. À une application linéaire a de l'espace dans lui-même (appelé endomorphisme), est associé la forme quadratique Φa définie par Φa(u) = ⟨a(u) , u⟩. Il existe de bons endomorphismes pour définir les formes quadratiques, ils sont nommés autoadjoints. Ils correspondent à ceux dont la matrice, dans une base orthonormale est symétrique, c'est-à-dire que les coefficients sont en miroir par rapport à la première diagonale. L'étude des endomorphismes autoadjoints est l'origine de la question traitée dans cet l'article.
Histoire Origine mécanique
vignette|redresse|Jean le Rond d'Alembert comprend l'utilité de la transformation, que l'on appellera plus tard la diagonalisation d'une matrice. Plus d'un siècle avant la démonstration du théorème, apparaît ce qui, plus tard, sera considéré comme une matrice symétrique. Jean le Rond d'Alembert cherche à connaitre le mouvement d'une corde vibranteD'Alembert, Traité de dynamique, Paris, 1743.. Il modélise le phénomène par un élastique dont la masse est rassemblée en des points régulièrement espacés. Le problème mathématique correspond à une équation différentielle linéaire. Si les variations sont suffisamment petites, les coefficients associés sont constants. Leonhard Euler propose une méthode dite des coefficients indéterminés pour expliciter la solutionL. Euler, Recherches sur la connaissance mécanique des corps, Mémoire de l’Académie des sciences de Berlin, 1758 ou Opera omnia, vol. 2, Zurich, 1964, p. 178-199.. Contrairement aux prévisions de Daniel Bernoulli, une approche analytique permet de trouver une solution conforme à ses expériences : . Néanmoins, les prétentions à la généralité de d'Alembert se révèlent inexactes. Les coefficients indéterminés permettent uniquement de résoudre les cas où seules deux ou trois masses sont présentes.
Pour traiter le cas d'un nombre de masses plus important, Joseph-Louis Lagrange développe une nouvelle approche. Il utilise une pratique polynomiale spécifique s'affranchissant de la méthode des coefficients indéterminésJ.-L. Lagrange, Solutions de différents problèmes de calcul intégral […], 1766, disponible dans Miscellanea Taurinensia Lagrange 1867-92, vol. 1, .. Grâce au fait que les coefficients sont en miroir, ce qui, en terme moderne se traduit par le fait que l'endomorphisme est auto-adjoint, il utilise une astucieuse méthode sur les primes et les indices. Le polynôme trouvé correspond à ce qui est maintenant nommé le polynôme caractéristique.
La méthode utilisée est relativement générique. Elle correspond à une approximation linéaire tangente, à ce titre elle fait partie d'une vaste théorie dite des perturbations. Elle suppose aussi que l'endomorphisme associé est symétrique. Enfin, elle ne fonctionne que si les racines du polynôme caractéristique, maintenant appelé valeurs propres, sont toutes distinctes, enfin le cas des racines imaginaires fait peur. Les savants de l'époque en ont bien conscience :
Développement astronomique vignette|gauche|redresse|Joseph-Louis Lagrange étudie les perturbations des trajectoires des planètes engendrées par les autres masses que le Soleil. La méthode proposée met en évidence des perturbations séculaires, phénomène qui s'avère être un moteur essentiel de la théorie pendant tout le .
Une autre situation entre dans le domaine de validité de la méthode : celle de la trajectoire des planètes. En plus de l'attraction solaire, les planètes s'attirent entre elles et engendrent de petites perturbations. Lagrange les décrit de la manière suivante :
Les variations séculaires fascinent, la stabilité du système solaire est menacée. Cet aspect s'avère un moteur théorique essentiel pour la compréhension du sujet de cet article. S'il existe une méthode numérique opérationnelle, elle ne peut garantir un résultat théorique tant que deux questions ne sont pas résolues. Que se passe-t-il s'il existe une valeur propre multiple ? Et sont-elles toutes réelles ?
La stabilité des perturbations du premier ordre, celles traitées par la méthode de Lagrange, fait couler beaucoup d'encre. La réponse qu'il propose est celle du calcul effectif. Il suppose qu'une planète n'est en interaction qu'avec quatre autres et développe une méthode de substitution sur les polynômes pour en extraire les racinesJ.-L. Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Mémoires de l'Académie de Berlin, 1770., qui s'avère soixante ans plus tard le point de départ de la théorie de Galois. Il en déduit :
Pierre-Simon de Laplace ne se contente pas de la réponse numérique de Lagrange. Elle n'offre pas à son goût de garantie suffisamment solide de stabilité, que se passe-t-il avec la prise en compte de plus de planètes? Il démontre que la disposition en miroir des coefficients ainsi que la nature de leur valeur imposent une convergence si seuls les effets du premier ordre sont pris en compteP.-S. Laplace, Mémoire sur les variations séculaires des orbites des planètes, Mém. de l’Acad. des sciences de Paris, 1795, p. 88-92 (soumis en 1789), Œuvres 11, .. Sa méthode néanmoins ne possède aucun caractère générique et ne fait pas avancer les mathématiques. L'avenir montrera de plus que la convergence des perturbations d'ordre 1 ne garantit en rien la stabilité recherchée.
Géométrie analytique
vignette|redresse|Augustin Louis Cauchy donne une dimension géométrique au problème.
Dans les années 1820, Augustin Louis Cauchy s'attelle à cette question. Il n'est pas un novice en algèbre, son traitéA. L. Cauchy, « Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires […] », adressé en 1812 et publié dans le Journal de l'École polytechnique, cahier, t. X, Paris, 1815. sur les déterminants fait autorité. Son approche, si elle reste analytique, diffère radicalement de celle de Lagrange, qui se décrit ainsi :
Cauchy découvre la dimension géométrique de la question. Il axe son analyse sur l'étude des quadriques. Elles sont définies de manière analytique par une forme quadratique, qu'il exprime comme un polynôme homogène du deuxième degré. Il remarque que, dans le cas de la dimension trois, il existe trois plans, définis par le choix de deux vecteurs pris parmi trois, qui divisent la quadrique en deux parties symétriques. Ces trois vecteurs sont orthogonaux et peuvent être choisis de longueur 1. Pour trouver ces vecteurs, Cauchy analyse les extrema de la surface à l'aide des dérivées partielles. Il établit la correspondance entre ces axes et les vecteurs propres de l'application linéaire associé. Un calcul de déterminant, fondé sur les techniques qu'il a développées dans le passé lui permettent d'expliciter les valeurs propresA. L. Cauchy, Sur les centres, les plans principaux et les axes principaux des surfaces du second degré, Exer. de math.3 = Œuvres (2)8, p. 8-35, 1828., il correspond maintenant à ce qui est appelé le polynôme caractéristique, le même qu'avait trouvé Lagrange par des méthodes différentes.