droite|cadre|La constante parabolique universelle est la longueur rouge divisée par la demi longueur bleue, laquelle est égale à la longueur verte. La constante parabolique universelle est une constante mathématique.
Elle est définie comme le rapport, noté , pour toute parabole, de la longueur de l'arc de la parabole délimité par la corde focale, par la demi-longueur de cette corde, le paramètre de la conique. Pour une parabole, le paramètre est aussi égal à la distance du foyer à la directrice, notée dans la figure ci-contre.
La valeur de la constante parabolique est donnée par :
().
Démonstration Soit l'équation de la parabole ; alors Propriété est un nombre transcendant.
Preuve. Supposons que soit algébrique. Alors serait algébrique. Cependant, par le théorème d'hermite-Lindemann, serait transcendant, ce qui est faux. Donc est transcendant.
On en déduit que est irrationnel.
Cas d'une conique quelconque Pour un cercle, le rapport analogue est égal à sa demi-longueur divisée par son rayon, soit le nombre .
Pour une conique d'excentricité , le rapport analogue est égal à où , conduisant à une intégrale elliptique. On vérifie que et .
Autre apparition de cette constante La distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un carré de côté 2 à son centre est
Preuve.
Remarque :
la distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un disque de rayon à son centre est égale à . la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut , voir la .
Crédit de traduction
Notes et références
Liens externes
Catégorie:Conique Parabolique universelle