Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à son ensemble dérivé, c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « points d'accumulation ».
Exemples L'ensemble vide est parfait dans tout espace.
Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple simple d'ensemble parfait.
Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor.. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor . Plus généralement, l'espace produit est parfait lorsque est un ensemble infini. Un exempleJean-Marie Arnaudiès, L'Intégrale de Lebesgue sur la droite, Vuibert, 1997, . d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est l'ensemble où est une série absolument convergente de complexes telle que pour tout , .
Dans ℝ, on peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si est une partie fermée, on définit le dérivé de comme l'ensemble des points d'accumulation de . Pour tout ordinal , on pose et, si est un ordinal limite, . Si désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que. : Ou bien . On dit que est réductible ; Ou bien et c'est un ensemble parfait. est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.
Propriétés Un ensemble parfait non vide de ℝ. ou ℝ. n'est pas dénombrable. Plus généralement et plus précisément : tout espace complètement métrisable parfait non vide contient un sous-espace homéomorphe à l'espace de Cantor.. ; tout espace localement compact parfait non vide contient un sous-ensemble équipotent à l'espace de Cantor.. Dans les deux cas, l'espace considéré a donc au moins la puissance du continu.
Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson.
Notes et références
Articles connexes
Propriété d'ensemble parfait
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