En mathématiques et en informatique, l'arithmétique des intervalles est une méthode de calcul consistant à manipuler des intervalles, par opposition à des nombres (par exemple entiers ou flottants), dans le but d'obtenir des résultats plus rigoureux. Cette approche permet de borner les erreurs d'arrondi ou de méthode et ainsi de développer des méthodes numériques qui fournissent des résultats fiables. L'arithmétique des intervalles est une branche de l'arithmétique des ordinateurs.
Motivations
Calcul numérique La représentation concrète d'un nombre réel est en général impossible. Par exemple, écrire est faux, puisque 1,414 élevé au carré vaut exactement et non 2. Dans un ordinateur, les nombres flottants ne sont que des approximations des nombres réels, et les opérations arithmétiques ne sont en général que des approximations des opérations mathématiques associées. Par exemple, avec un processeur utilisant la norme IEEE 754, le calcul « sin(cos–1(–1)) » donne et non 0, qui est la véritable valeur attendue (). Plus problématique, l'évaluation de « sin(cos–1(–1)) = 0 » renvoie faux.
L'arithmétique des intervalles est une méthode qui permet d'encadrer avec certitude le résultat des opérations que l'on effectue. Par exemple on pourra écrire puis en déduire .
Calcul technique La conception ou la vérification d'un système peut mener à des calculs avec des valeurs bornées plutôt que connues exactement. Ainsi l'utilisation de composants connus à 1 %, 5 % voire 20 % présuppose de vérifier si leur dispersion est ou non critique.
Preuve de programmes Dans la mesure où lorsqu'on travaille en intervalles on sait avec précision les limitations de ce qu'on traite, cette représentation permet d'élargir le domaine des preuves de programmeshttps://www.lri.fr/~melquion/doc/06-these.pdfhttps://www.irif.fr/~tasson/doc/cours/cours_pp.pdf.
Représentation
Dans l'arithmétique des intervalles, un nombre réel est représenté par une paire de nombres flottants . Dire que est représenté par cette paire signifie que appartient à l'intervalle , autrement dit que les assertions et sont vraies. La notion d'égalité d'un nombre et de sa représentation disparaît, sauf si .
On appelle largeur de la représentation la quantité , qui mesure l'incertitude de la représentation.
Opérations
Opérations arithmétiques de base Les opérateurs de base mettent en jeu au minimum les opérateurs arithmétiques flottants suivants, définis dans la norme IEEE 754 changement de signe (vers ) : addition avec arrondi par défaut (vers ) : addition avec arrondi par excès (vers ) : multiplication avec arrondi par défaut (vers ) : multiplication avec arrondi par excès (vers ) : division avec arrondi par défaut (vers ) : division avec arrondi par excès (vers ) :
Test si certainement positif ou nul
Test si certainement strictement positif
Test si certainement négatif ou nul
Test si certainement strictement négatif
Test si possiblement nul
Changement de signe
Addition
Multiplication de nombres certainement positifs ou nuls
Multiplication de nombres certainement négatifs ou nuls
Multiplication d'un nombre possiblement nul par un nombre certainement positif
Multiplication de nombres possiblement nuls
Fonctions élémentaires vignette|Évaluation d'une fonction croissante en arithmétique d'intervalles. L'arithmétique d'intervalle pour être efficace nécessite des propriétés sur les fonctions. En particulier on dispose de propriétés pour les fonctions monotones.
Pour une fonction monotone d'une variable sur un intervalle , si elle est croissante (resp. décroissante) alors pour tout tels que , on a (resp. ). De plus pour tout intervalle , on peut calculer On peut donc en tirer des propriétés pour certaines fonctions usuelles :
Exponentielle : pour Logarithme : pour des intervalles positifs
Plus généralement on peut dire que pour des fonctions monotones par morceaux il suffit de considérer les bornes de l'intervalle ainsi que les extremum (ou points critiques) de la fonction sur cet intervalle pour obtenir une évaluation de cette fonction en termes d'intervalles. Pour les fonctions sinus et cosinus, les points critiques sont les points ou pour tout entier .
Raffinement de l'intervalle Il est parfois utile pour gagner en précision dans l'évaluation de fonction, de réécrire l'intervalle de base sous la forme d'une union d'intervalles. Concrètement pour un intervalle , on le découpe de la manière suivante : avec et .
Extension aux fonctions de plusieurs variables En général, il est difficile de trouver une description simple de la sortie pour un large spectre de fonctions. En revanche, il est quand même possible d'étendre les fonctions à l'arithmétique d'intervalle. Si est une fonction d'un vecteur réel donnant un réel, alors est appelé l'extension à un intervalle de f si La définition donnée ne donne cependant pas un résultat précis. Par exemple, et sont toutes les deux, deux extensions à un intervalle possible de la fonction exponentielle. L'extension la plus précise possible est voulue, tout en prenant en compte les coûts de calcul et les imprécisions. Dans ce cas on choisit de sorte à garder le résultat le plus précis possible.
L'extension naturelle à un intervalle résulte des règles de calcul classiques sur et des règles de calcul classiques pour l'arithmétique d'intervalles et les fonctions élémentaires.
L'extension du développement de Taylor à un intervalle (de degré ) est une fonction fois différentiable : pour tout , où est la i-ème différentielle de au point et est l'extension à un intervalle du reste de Taylor :
vignette|Valeur moyenne d'une forme Le vecteur fait le lien entre et avec et est protégé par . D'ordinaire, on choisit de sorte qu'il soit le milieu de l'intervalle et on utilise l'extension naturel à un intervalle pour évaluer le reste. Le cas spécial de la formule précédente quand est connu comme la valeur moyenne d'une forme. Pour l'extension d'intervalle du Jacobien :
Une fonction non linéaire peut être définie à l'aide de propriétés linéaires.
Arithmétique d'intervalles complexe Un intervalle peut également être vu comme un ensemble de points à une distance donnée du centre, et cette définition peut être étendue aux nombres complexes. Comme en nombres réels, les calculs en nombres complexes introduisent en général des erreurs de calculs et d'arrondis, dus au fait qu'on les représente avec une précision limitée. On définit donc un type de nombre "intervalle", correspondant à un intervalle mathématique fermé.
Dans le cas d'un entier, par exemple, 18±2, dans le cas d'un réel 3.14±0.01. Le cas des nombres complexes est plus délicat, leur "flou" n'étant pas le même selon qu'on les représente en cartésien (réel et imaginaire) ou en polaire (angle et module). Néanmoins, on peut le majorer.
L'arithmétique d'intervalles peut ainsi être étendue, via des nombres d'intervalle réels ou complexes., pour déterminer les zones d'incertitude dans le calcul. Ce qui compte est que le résultat soit garanti se trouver dans la zone d'incertitude d'une part, et pour l'analyste numérique de choisir la méthode de calcul laissant cette zone aussi petite que possible d'autre part.
Les opérations algébriques de base pour les nombres d'intervalles réels (intervalles fermés réels) peuvent être étendues aux nombres complexes. L’arithmétique complexe d’intervalles ressemble à l’arithmétique complexe ordinaire, chaque nombre convoyant son flou avec lui dans les calculs. Ce type d'intervalle est reconnu par des langages comme NARS2000, en nombres entiers dans sa version actuelle () et en flottants de précision arbitraire réels ou complexes dans sa version "alpha".
Il n'existe pas de distributivité entre l'addition et la multiplication de nombres d'intervalles réels ni complexes, en général. Les éléments inverses n'existent pas toujours non plus pour les nombres d'intervalles complexes. Deux autres propriétés utiles de l'arithmétique complexe classique n'existent pas dans l'arithmétique d'intervalle complexe : les propriétés additives et multiplicatives, des conjugués complexes ordinaires, n'existent plus pour les conjugués complexes d'intervalles.
L'arithmétique d'intervalles peut être étendue, de manière analogue, à d'autres systèmes de nombres multidimensionnels tels que les quaternions et les octonions. Cela exige de sacrifier d'autres propriétés utiles de l'arithmétique ordinaire.
Utilisation de l'arithmétique d'intervalles
Exemple d'un calcul simple Avec les définitions données précédemment il est déjà possible de calculer certains intervalles dans lesquels se trouve le résultat de l'évaluation de certaines fonctions.
Par exemple avec la fonction et , et on obtient :
Il est aussi possible de résoudre des équations avec des intervalles. En reprenant la même fonction et les mêmes valeurs pour et on a :
Ainsi les valeurs d'annulation possibles de la fonction sont dans l'intervalle [-7, -2.5].
Règle de Karl Nickel On a toujours . Autrement dit l'évaluation directe d'une expression comprend toujours son image directe au sens des fonctions (ou valeur exacte). La réciproque est vraie si, par exemple, chaque variable apparaît au plus une fois ou si I est un singleton.
Observer la règle indiquée est critique, toute évaluation trop large nuisant à l'intérêt du résultat.
Par exemple, on considère la fonction définie par . Les valeurs de cette fonction sur l'intervalle sont . Avec les règles de calcul sur les intervalles, on aurait en revanche obtenu , qui est plus large.
Une autre expression peut être utilisée pour calculer cette valeur :
et on obtient cette fois le résultat premièrement énoncé :
Il peut être montré que le résultat peut être exact si chaque valeur apparaît exactement une fois dans l'expression de la fonction et si est continu dans l'intervalle d'évaluation. Toutefois il n'est pas possible de réécrire toutes les fonctions de cette manière.
Expressions préférables Lorsque, pour des valeurs isolées, on a , on peut souvent montrer une relation du type . On dit alors que, est préférable à ou plus fine que . Et c'est la forme préférable si elle satisfait la règle de Nickel. En ce sens, on remplacera : par et par par . En effet, soit et . Avec la première formule, le produit vaut [3 10], la somme [4 ; 7] et leur quotient [0,42 ; 2,5], avec une largeur de 2,08. La seconde formule donne 1/[0,7 1,33] = [0,75 1,43]. Toujours licite, cette seconde valeur a une largeur réduite à 0,68. par ; pour un intervalle [-4 ; 5], la première donne [-20 ; 25] de largeur 45, la seconde [0 ; 25] de largeur 25. par . par .
L'avant-dernière formule est typique : la plupart des distributivités classiques entraînent en termes d'intervalles des sous-distributivités, dont chacune fournit une règle d'amélioration.
Notion d'extervalle Des difficultés introduites par la division peuvent être contournées grâce à la notion d' extervalle, inverse d'un intervalle contenant 0. Pour cela, si alors , noté en bref , avec évidemment .
Soit à calculer pour x = [10 ; 20] et y =[-2 ; +2].
Alors qui est bien la valeur cherchée. En pratique
Tout calcul en intervalles doit être précédé d'une inspection voire d'une mise en forme, recourant s'il le faut à l'historique de calcul, en vue de n'utiliser que des formes préférables conformes à la règle ci-dessus.
Recherche de zéros sur un axe
La recherche des zéros d'une fonction présente avec l'arithmétique ordinaire une difficulté particulière lorsque le nombre de zéros entre deux bornes n'est pas connu. L'arithmétique des intervalles permet d'encapsuler avec certitude les solutions.
Soit à résoudre , avec continue entre les bornes et . Si l'intervalle ne contient pas zéro, alors on est certain qu'il n'y a pas de racine entre et . Si aucun des deux intervalles et ne contient zéro et qu'ils sont de signes différents, alors il y a au moins un zéro entre et .