Arrondir un nombre consiste à le remplacer par un autre nombre considéré comme plus simple ou plus pertinent. Ce procédé s'appelle arrondissage ou arrondissement et le nombre obtenu est un arrondi.
Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir. En général, on arrondit un nombre en en donnant une valeur approchée obtenue à partir de son développement décimal en réduisant le nombre de chiffres significatifs. L'arrondi peut se faire au plus proche, par excès ou par défaut.
Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Motivations
En mathématiques, on peut être amené à manipuler des nombres ayant beaucoup de décimales, voire une infinité dont seulement certaines sont connues avec exactitude, il est alors plus pratique de limiter le résultat final à un nombre raisonnable de décimales. Par exemple a un nombre infini de décimales, dont beaucoup sont inutiles pour évaluer un périmètre. En arrondissant à 3,14, on commet une erreur absolue sur inférieure à et une erreur relative sur le produit inférieure à , ce qui est souvent suffisant.
Ce même problème apparait lors de constructions de tables numériques ou lors de la manipulation de nombres dans les calculateurs. La précision des nombres est limitée par la place qu'on leur réserve dans la table ou dans la mémoire. Des arrondis apparaissent nécessairement qu'il faut apprendre à maitriser et contrôler.
Dans les applications pratiques, les valeurs numériques peuvent avoir une précision illusoire comme la population des États-Unis recensée en 2020 (.). Ce nombre gagne à être arrondi à la centaine de milliers près (331,5 millions) ou au million près (331 millions) ou à un autre ordre de grandeur. D'autres quantités ne sont connues qu'approximativement car elles dépendent de la précision des instruments employés. Elles ne sont connues qu'à une incertitude près. Effectuer des calculs et fournir un résultat final dont la précision serait meilleure que l'incertitude initiale n'a pas d'intérêt. Si des mesures sont faites au mm près, par exemple, pour les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, calculer l'hypoténuse et donner un résultat au micromètre est un non-sens : pour une incertitude de mesure au mm, un arrondi au dixième de millimètre est suffisant.
Dans le domaine monétaire, il arrive que des calculs liés à l'application de pourcentages (TVA, taux de réduction, ...) ou de conversions conduisent à un résultat dont l'unité est inférieure à la plus petite dénomination de la devise en cours. Il est alors nécessaire d'arrondir ce résultat à un multiple de la plus petite devise en circulation. Ainsi on ne présente pas de facture donnant les dixièmes de centime d'euro, on arrondit au centime d'euro, voire à l'euro. C'est l'arrondi monétaire.
On peut aussi décider d'opérer un arrondi solidaire, arrondissant par excès une facture en caisse ., ou par défaut un salaire. de telle sorte que l'excédent ou le déficit soit reversé à une association.
Techniques d'arrondis
Arrondi au plus proche
L'arrondi au plus proche d'un nombre à est le multiple de le plus proche de ce nombre.
Ainsi l'arrondi au centième de 1,471 est 1,47, celui de 1,476 est 1,48 celui de -1,471 est -1,47 l'arrondi à l'unité de 8,37 est 8, celui de -17,62 est -18. l'arrondi au millier de est
L'arrondi d'un nombre réduit le nombre de chiffres significatifs et introduit une erreur d'arrondi majorée en valeur absolue par .
Il arrive que le nombre soit à égale distance de deux multiples de . Cela se produit quand les chiffres négligés sont 5 suivi d'une infinité de 0. Dans ce cas, il y a ambiguïté sur le multiple de à prendre. Plusieurs choix sont possibles et donnent lieu aux variantes suivantes.
Arrondi arithmétique
C'est l'arrondi privilégié en mathématique élémentaire, p. 12.. Cela consiste, pour un nombre positif, à regarder le chiffre qui suit le dernier chiffre retenu. Si ce chiffre suivant est 0, 1, 2, 3 ou 4, on ne retient que les chiffres précédents sans les modifier (arrondi par défaut). Si ce chiffre suivant est 5, 6, 7, 8 ou 9, on retient les chiffres précédents en augmentant d'une unité le dernier chiffre (arrondi par excès).
Dans cette convention, l'ambiguïté est levée en prenant, pour un nombre positif, l'arrondi par excès.
+ Arrondis de Chiffres retenus (soulignés)premier chiffre négligé (en gras) Arrondi Remarque à la dizaine 183,9525 180 ou plus exactement soit 2 chiffres significatifs à l'unité 183,9525 184
au dixième 183,9525 184,0 L'ajout d'une unité entraine une retenue.Il faut conserver le 0 qui est significatif. au centième 183,9525 183,95 au millième 183,9525 183,953 Il y a ambiguïté. La convention choisit l'arrondi par excès.
Cette notion d'arrondi (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :
les calculatrices ; les logiciels Microsoft Excel., LibreOffice Calc., ; le langage C qui, par ailleurs, n'arrondit qu'à l'unité..
Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors d'accumulation de calculs d'arrondis sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche
La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux multiples consécutifs, on prend pour l'arrondi le multiple pair.
Par exemple : l'arrondi au pair le plus proche à 10−2 près de 8,125 est 8,12 ; l'arrondi au pair le plus proche à 10−1 près de −1,35 est −1,4.
Cette variante est notamment mise en œuvre dans :
les micro-processeurs pour les nombres à virgule flottante (norme IEEE 754), p. 255. ; les logiciels Mathematica - Properties & Relations. et Maxima (qui arrondit à l'unité) - function Round., le langage Python - round. ; les langages R. et MySQL. arrondissent en principe les flottants, en cas d’ambiguïté, au pair le plus proche mais avec des comportements inattendus selon le caractère représentable du nombre ; DotNet arrondit ses flottants, en cas d’ambiguïté, par défaut, au pair le plus proche mais offre des options pour changer la règle..
Troncature
La troncature consiste à tronquer l'écriture décimale du nombre après la -ième décimale (ce qui revient à remplacer par 0 les décimales de juste après la -ième). Ainsi, un moyen simple d'obtenir une valeur approchée à près () d'un réel est de tronquer à décimales près.
Par exemple, de l'encadrement , il s'ensuit que est une troncature du nombre à près.
Cas des nombres négatifs
Idéalement, on souhaite que l'arrondi au plus proche soit une fonction paire. Cela est réalisé si l'arrondi est effectué sur la valeur absolue du nombre .. L'arrondi au plus proche à 10−1 près de −1,47 est −1,5. L'arrondi au plus proche à 10−1 près de −1,43 est −1,4. L'arrondi au plus proche à 10−1 près de −1,45 est −1,5 (arrondi arithmétique) ou −1,4 (arrondi au pair).
Pour l'arrondi arithmétique à , cela revient à appliquer la formule
où est la fonction donnant le signe du nombre, E est la fonction partie entière, et |...| la fonction valeur absolue.
Mais cette convention n'est pas universelle : certains sites. règlent l'ambiguité en proposant d'arrondir systématiquement par excès même pour les nombres négatifs, proposant -3,4 comme arrondi au plus proche de -3,45. Le langage Java utilise, pour son arrondi à l'unité, la formule. qui n'est pas une fonction paire.
Quand un nombre est arrondi à zéro, il est parfois représenté par un zéro signé, en particulier, lorsqu'un nombre négatif est arrondi à zéro, le résultat de l'arrondi est parfois noté -0 pour indiquer ce fait. .
Généralisation à une base quelconque
Cette définition de l'arrondi au plus proche à pour un nombre en écriture décimale s'étend naturellement à l'arrondi au plus proche à pour un nombre écrit en base , en particulier en base 2 utilisée dans les ordinateurs.
Donald Knuth, par exemple, dans son travail sur l'écriture en virgule flottante, définit en base l'arrondi au plus proche à places pour un nombre dont la valeur absolue est dans l'intervalle sous la forme suivante: l'arrondi de à places est le multiple de le plus proche de .
Pour lever le cas de l'équidistance, pour pair, il choisit pour l'arrondi , le multiple de tel que est impair.
Cette définition est compatible avec l'arrondi au pair en base 10.
Autres arrondis
D'autres méthodes arrondissent de différentes manières. Tous les arrondis qui suivent (à l'exception de l'arrondi au multiple) provoquent une erreur d'arrondi inférieure ou égale à .
Arrondi vers + ∞
L'arrondi vers + ∞ , ou arrondi par excès, à près de est le multiple de , supérieur ou égal à , le plus proche de .
Il est proposé dans de nombreux langages sous la forme Ceiling (Wolfram.), souvent seulement à l'unité (Maxima., R, Mysql., DotNet.).
Arrondi vers − ∞
L'arrondi vers − ∞ , ou arrondi par défaut, à près de est le multiple de , inférieur ou égal à , le plus proche de .
Il est proposé dans de nombreux langages sous la forme Floor (Wolfram.), souvent seulement à l'unité (Maxima , R, Mysql., DotNet ).
Arrondi vers zéro
L'arrondi vers zéro, ou troncature, à près de est le multiple de le plus proche de qui lui soit plus petit en valeur absolue.
Cet arrondi se comporte comme l'arrondi vers − ∞ pour les valeurs positives et comme l'arrondi vers + ∞ pour les valeurs négatives.
Il est proposé dans de nombreux langages sous le forme Arrondi.Inf (Excel ., OpenOffice.) ou Truncate (Maxima à l'unité, Mysql , DotNet. à l'unité) ou Trunc (R à l'unité)
Arrondi vers l'infini
Certains logiciels (Excel ., OpenOffice.) proposent un arrondi vers l'infini comme le multiple de le plus proche de qui lui soit plus grand en valeur absolue.
Arrondi au multiple
Toutes les méthodes précédentes peuvent s'appliquer à des arrondis, non à un multiple d'une puissance de 10, mais à un multiple d'un nombre quelconque. Cela peut se révéler utile quand on cherche une précision intermédiaire. Par exemple, si on cherche à arrondir des sommes en euros au 5 cents le plus proche, on arrondira les valeurs et à , celles entre et à et les valeurs et à .
Certains langages informatiques ont mis en place ce type d'arrondi comme Excel et LibreOffice avec leurs fonctions ARRONDI.AU.MULTIPLE.., PLANCHER. , PLAFOND...
Tableau comparatif
+ Arrondis au dixième selon les méthodes Nombre Arrondi arithmétique Arrondi au pair Arrondi vers 0 Arrondi vers − ∞ Arrondi vers + ∞ 1,421,41,41,41,41,5 −1,42−1,4−1,4−1,4−1,5−1,4 1,461,51,51,41,41,5 −1,45−1,5−1,4−1,4−1,5−1,4
Normes et conventions
En informatique, la norme IEEE 754 est employée pour le calcul avec des nombres à virgule flottante ; elle provient d'une étude théorique approfondie sur les propriétés que doivent avoir l'arrondi pour garantir le minimum d'erreurs et la stabilité des résultats lors de suites de calculsArticle de Vincent Lefèvre et Jean-Michel Muller sur cette étude..