En mathématiques, la fonction arc tangente intégral est une fonction spéciale, définie comme une primitive de la fonction .
Définition La fonction arc tangente intégral est définie par :
La fonction arc tangente () est considérée ici sur sa branche principale, c'est-à-dire que pour tout nombre réel .
Histoire et notations Spence (1809) a étudié la fonction en utilisant la notation . La fonction a été étudiée aussi par Ramanujan.
La notation (et plus généralement , cf. « Généralisation ») est due à Lewin.
Propriétés La fonction arc tangente intégral est impaire :
Les valeurs de et sont reliées par l'identité : , vraie pour tout (ou, plus généralement, pour ). On le prouve en dérivant et en utilisant l'identité Appears in: .
La valeur particulière donne la constante de Catalan .
Relation avec d'autres fonctions Développement en série La représentation en série entière de l'arc tangente intégral est : , qui est absolument convergente pour .
Relation avec le dilogarithme L'arc tangente intégral est étroitement lié au dilogarithme , et peut être exprimé simplement en termes de cette fonction :
Ainsi :
Relation avec la fonction chi de Legendre L'arc tangente intégral est lié à la fonction chi de Legendre par :
On peut remarquer que peut s'exprimer à partir de l'intégrale , similaire à l’expression de l'arc tangente intégral mais avec la tangente hyperbolique réciproque à la place de l'arc tangente.
Relation avec la fonction zêta de Lerch L'arc tangente intégral peut également être écrit en termes de fonction transcendante de Lerch :
Généralisation De façon similaire au polylogarithme , la fonction :
est définie de manière analogue. Elle vérifie la relation de récurrence :
Par cette représentation en série, on peut voir l'égalité avec les valeurs spéciales , où représente la fonction bêta de Dirichlet.
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Fonction spéciale