Dans un espace vectoriel E, le sous-espace vectoriel engendré par une partie A de E est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. C'est aussi l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Le sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs est le plus petit sous-espace contenant tous les vecteurs de cette famille, p. 100..
Une famille de vecteurs ou une partie est dite génératrice de E si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.
Définitions équivalentes
Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K.
On note (A).Les anglophones le notent Span(A), cf. par exemple . (ou encore parfois [A].) l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de A. Autrement dit : un vecteur appartient à (A) si et seulement s'il existe une famille () de scalaires, à support fini (c'est-à-dire que l'ensemble des indices correspondant à des scalaires non nuls est fini) et telle que
On démontre que (A) est un sous-espace vectoriel de E contenant A et que c'est le plus petit (pour l'inclusion), ce qui en fournit une définition équivalente. (A) est donc l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.
La partie A est dite génératrice de (A), ou ensemble de générateurs de (A).
La définition s'étend à une famille quelconque (v) de vecteurs de E (non nécessairement distincts). Le sous-espace vectoriel engendré par la famille, noté ((v)), est le sous-espace vectoriel engendré par la partie A = {v | i ∈ I}. C'est donc l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de la famille :
où ℕ est l'ensemble des entiers naturels.
Les familles () de scalaires à support fini forment un K-espace vectoriel noté K. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille (v) est l'image de l'application linéaire
Base
Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.
Exemples Dans l'espace vectoriel réel ℝ, la base canonique est, comme toute base, un ensemble générateur. Dans ℝ, un exemple d'ensemble générateur et non libre (donc qui n'est pas une base) est {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (–1, 1/2, 3), (1, 1, 1)}. Le triplet des vecteurs u = (1, 0, 0), v = (1,1,0) et w = (0,1,0) = v – u n'engendre pas ℝ tout entier mais seulement le plan vectoriel d'équation z = 0 : Soit . On a Dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K : le sous-espace engendré par les monômes 1, X, X, … , X est le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n ; le sous-espace engendré par les monômes X pour k entier naturel est le sous-espace des polynômes de la forme P(X). Dans tout espace vectoriel, le sous-espace engendré par l'ensemble vide est l'espace nul.
Propriétés Pour toute partie et tout vecteur d'un espace vectoriel E, on a : Pour tout entier naturel n, la dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n (si et) seulement si la famille est libre. Pour toutes parties et de E, L'application , de l'ensemble des parties de E dans lui-même, est un opérateur de clôture, c'est-à-dire une application : croissante : si , alors ; extensive : ; idempotente : .
Notes et références
Catégorie:Espace vectoriel
pl:Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa ru:Векторное пространство#Линейная оболочка