En mathématiques, les nombres métalliques (ou constantes métalliques) forment une suite de nombres réels généralisant le nombre d'or. Il a été proposé deux généralisations possibles, donnant des constantes différentes, même si on retrouve le nombre d'or dans les deux.
Première généralisation
Le nombre d'or permettant d'exprimer le terme général des suites vérifiant la récurrence linéaire définissant la suite de Fibonacci , il a été proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer, pour un nombre entier , le terme général des suites vérifiant la récurrence linéaire :
Par définition, le p-ième nombre métallique, noté , est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : .
Si une telle suite tend vers l'infini, est la limite du rapport .
Pour = 2, le métal proposé a été l'argent, puis le bronze pour le nombre suivant...
Les suites ont été baptisées p-metallonacci sequences en anglais.
Diverses expressions du p-ième nombre métallique En tant que solution positive de l'équation du second degré , on obtient l'expression analytique du p-ième nombre métallique :
En réécrivant l'équation sous la forme
on en déduit son développement en fraction continue : . En réécrivant l'équation sous la forme on en déduit sa forme en radical imbriqué infini : . Le p-ième nombre métallique est également donné par une intégrale :
alt=|vignette|206x206px|Les rectangles d'or, d'argent, et de bronze.
Rectangles métalliques Le p-ième nombre métallique est le rapport entre la longueur et la largeur d'un rectangle tel que si on lui ôte p carrés de taille maximale, on obtient un rectangle semblable à celui de départ.
On obtient en effet la relation qui donne si on pose .
Premières valeurs pExpressionÉcriture décimaleMétal associéSuite récurrente associée1 1,618033989Orsuite de Fibonacci2 2,414213562 Argentsuite de Pell3 3,302775638 Bronze4 4,236067978 5 5,192582404 6 6,162277660 7 7,140054945 8 8,123105626 9 9,109772229 ⋮p
Expressions trigonométriques +Numéro du nombre métallique1234Formule trigonométriquePolygone régulier associéPentagoneOctogoneTridécagone29-gone
Propriétés des puissances entières De même que les puissances successives du nombre d'or vérifient où est la suite de Fibonacci, les puissances des nombres métalliques vérifient :
où la suite , définie par est la p-suite de Fibonacci.
En prolongeant la suite aux entiers négatifs et en acceptant les négatifs dans la définition de , la relation (1) est valable pour tous les entiers relatifs.
Alors, si est l'autre solution de , les puissances de vérifient également de sorte que, par application de la formule de Binet, on a l'égalité : .
Remarquons aussi que puisque , l'inverse d'un nombre métallique a la même partie fractionnaire que lui.
De plus, la propriété se généralise. En effet, toute puissance impaire d'un nombre métallique est un autre nombre métallique :
Par exemple, . Deuxième généralisation : constantes de p-nacci. Une autre généralisation de la récurrence linéaire double : étant la récurrence -uple : , il a été aussi proposé d'appeler nombres métalliques les nombres permettant d'exprimer le terme général des suites vérifiant cette récurrence. Partant de l'or, l'argent et le cuivre (situés au-dessus de l'or dans le tableau périodique), ont été proposés pour les nombres suivants : le nickel, le cobalt et le fer . Mais par conformité avec les appellations données dans l'encyclopédie des suites entières (OEIS), nous désignerons ces nombres par constantes de -nacci.
Par définition, chaque constante, notée dans , est l'unique solution positive de l'équation caractéristique de la récurrence : (attention, avec cette numérotation, le nombre d'or est , étant égal à 1).
En utilisant la formule des suites géométriques, on obtient que est l'unique solution positive autre que 1 de l'équation de degré : , équation qui peut s'écrire aussi : . Cette solution ne s'exprime pas à l'aide de radicaux à partir de , mais peut s'écrire comme somme d'une série :
Premières valeurs pConstante deExpressionÉcriture décimaleMétal (appellation de )Suite récurrente associée2Fibonacci1,618033989Orsuite de Fibonacci3Tribonacci1,8392867552Argentsuite de Tribonacci4TétranacciExistence d'une expression par radicaux réels faisant intervenir1,927561975Cuivresuite de Tétranacci, 5PentanacciPas d'expression par radicaux1,9659482366Nickelsuite de Pentanacci, 6Hexanacci1,983582843Cobaltsuite d'Hexanacci, 7Heptanacci1,991964197Fersuite d'Heptanacci,
Étude de la suite des constantes de p-nacci Cette suite croit strictement de 1 jusqu'à sa limite égale à 2. Ceci est aussi "confirmé" par la suite d' "infinacci" où chaque terme est la somme de tous les précédents, débutant par 0,1 : 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... où le quotient de termes consécutifs vaut exactement 2.
Un encadrement simple est :
.
Un développement asymptotique est :
.
L'équation caractéristique possède une unique solution négative, supérieure à –1 pour pair, et aucune pour impair. Cette solution, ainsi que les solutions complexes ont un module vérifiant , qui tend donc vers 1 quand tend vers l'infini.
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Bibliographie . . .
Articles connexes Nombre d'argent Nombre plastique Généralisations_de_la_suite_de_Fibonacci#Suites_de_p-bonacci Vera W. de Spinadel Table de constantes mathématiques
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