vignette|Réalisation à partir d'une bande de papier. En topologie, le ruban de Möbius ou de Mœbius (aussi appelé bande de Möbius, boucle de Möbius, anneau de Mœbius ou ceinture de Möbius) est une surface compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle. Autrement dit, il ne possède qu'une seule face (et un seul bord) contrairement à un ruban classique qui en possède deux. La surface a la particularité d'être réglée et non orientable. Elle a été décrite indépendamment en 1858 par les mathématiciens August Ferdinand Möbius (1790-1868) et Johann Benedict Listing (1808-1882). Le nom du premier fut retenu grâce à présenté à l'Académie des sciences à Paris.
Il est facile de visualiser la bande de Möbius dans l'espace : un modèle simple se réalise en faisant subir une torsion d'un demi-tour à une longue bande de papier, puis en collant les deux extrémités, créant un ruban sans fin n'ayant ni intérieur ni extérieur.
Histoire
L'objet a été déjà représenté auparavant, comme en témoignent des mosaïques romaines du IIIe siècle de notre ère. L'une des représentations se trouve à Sentinum (actuelle Sassoferrato dans les Marches) ; elle est associée au dieu grec Éon, dieu du cycle éternel. Elle montre le zodiaque comme un anneau à une seule face, avec une torsion.
Indépendamment, les machinistes ont empiriquement constaté qu'une courroie montée en bande de Möbius s'use moitié moins vite. Une illustration de cette configuration apparaît dès 1206 dans un ouvrage d'Ismail al-Jazari pour une chaîne de transmission.
Une autre utilisation pratique est attestée chez des couturières parisiennes, qui cousaient un col ayant cette forme spécifique de pliage sur la tenue des novices.
Le ruban peut aussi être rapproché du symbole de l'infini, en mathématiques et au-delà des mathématiques, « », inventé par le mathématicien John Wallis au .. Le symbole étant un trait et le ruban une surface, les deux pouvant symboliser l'infini.
Définition par torsion d'une bande dans l'espace
Ruban de Möbius classique Le ruban de Möbius peut être engendré par un segment pivotant dont le centre décrit un cercle fixe. Un paramétrage correspondant est vignette|Ruban de Möbius.
ou l'ensemble des solutions de l'équation suivante :
Les courbes v = v0, t variant seul, sont bien des segments, reliant à vitesse uniforme de 1/2 le point v = v0, t = –1 et le point v = v0, t = 1. Ce segment est donc de longueur 1.
La courbe t = 0 est un cercle de diamètre 2 dans le plan horizontal ; elle représente la trajectoire du centre des segments. L'angle que fait le segment avec la direction horizontale est v0. Lorsque le centre a fait un tour complet sur le cercle horizontal (ajout de π à la variable v), le segment a fait un demi-tour seulement. Ce qui provoque le raccordement par exemple du point t = 1, v = π avec t = –1, v = 0.
Le bord du ruban est donné par la courbe t = 1 ou t = –1. Mais c'est la même courbe : le bord du ruban de Möbius est en un seul morceau (connexe).
378px|centre|Ruban de Möbius animé.
On peut également voir l'animation ci-dessus en vision stéréoscopique : Animation stéréoscopique croisée : 150px Animation stéréoscopique parallèle du même ruban : 150px
Autres figures obtenues par torsion Des variantes du ruban classique peuvent s'obtenir en faisant subir à la bande de papier un nombre impair de demi-tours de sens direct ou rétrograde. Il suffit d'ajuster le paramétrage précédent : vignette|Variante du ruban de Möbius.
avec k entier relatif impair.
378px|center|Variante du Ruban de Möbius animé.
Les figures obtenues pour k et –k sont énantiomorphes, c'est-à-dire des images miroirs (mais non superposables) l'une de l'autre.
Si l'on accepte des valeurs paires de k on obtient des rubans à deux faces, plus ou moins entortillés.
Comparaison des différents rubans
On peut s'intéresser à la courbe formant le bord de ces rubans. Elle a un entortillement différent pour chaque valeur de k. L'entortillement se calcule par exemple en projection (vue de dessus), en comptant le nombre de fois où la courbe passe au-dessus d'elle-même. On ne peut déformer continûment (c'est-à-dire par homotopie) un type de ruban en un autre dans l'espace de dimension 3.
Pourtant les différents rubans sont homéomorphes au ruban de Möbius classique, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de différence intrinsèque entre eux. Celle-ci est liée à la façon dont ils sont plongés dans l'espace de dimension 3.
Le ruban de Möbius à un demi-tour peut également être vu comme une partie de la surface de Möbius.
Objets dérivés thumb|Animation d'un ruban de Möbius découpé par la moitié de sa largeur, qui donne un seul anneau plus grand. thumb|Animation d'un ruban de Möbius découpé au tiers de sa largeur, qui donne le même type d'anneau, enchaîné à un plus grand. Si on colle deux rubans de Möbius le long de leur bord, on obtient une bouteille de Klein. Cela ne peut se réaliser qu'en déchirant le ruban (ou en utilisant la quatrième dimension), car la bouteille de Klein ne se plonge pas dans l'espace usuel.
Si on colle un disque à un ruban de Möbius le long de leur bord commun, on obtient un plan projectif réel ; là encore, il n'est pas possible d'y parvenir physiquement sans déchirer le ruban.
Si on tente de le découper en trois, c'est-à-dire en suivant un axe à un tiers de largeur d'un des bords, on obtient deux rubans entrelacés : un ruban de Möbius d'un tiers de largeur, correspondant au milieu du ruban initial, et un ruban à deux faces d'un tiers de largeur, correspondant au bord du ruban initial, de longueur double et vrillé d'un tour complet..
On a vu que si on découpe un ruban de Möbius le long de son axe médian, on obtient un ruban à deux faces, vrillé et de longueur double. Si on recoupe ce ruban dans le sens de la longueur, on obtient deux anneaux distincts, vrillés et entrelacés.
Enfin, si l'on part d'un ruban de Möbius obtenu par trois demi-tours avant recollement (comme celui du logo ci-dessous), et qu'on le découpe le long de l'axe médian, on obtient un ruban unique, mais noué (en nœud de trèfle).
Choix de longueur du ruban Le ruban de Möbius peut se réaliser avec un ruban flexible d'une feuille de papier à 70 g/m par exemple. Pour obtenir un ruban sans pliage brusque, il faut que, pour une largeur de ruban égale à 1, la longueur soit supérieure à 1,732 - soit la racine carrée de 3Publication dans La Recherche : Numéro 98, mars 1979. Il est possible d'aller vers plus petit en longueur jusqu'à faire se rejoindre, avec un renversement hélicoïdal, les côtés opposés d'un carré, mais les pliages seront brusques.
Utilité du ruban Bien que le ruban de Möbius puisse n'apparaître que comme une curiosité mathématique ou une construction artistique, cette disposition était souvent utilisée dans le monde industriel du lorsque les machines fonctionnaient à partir de courroies. Les courroies étaient croisées à la jonction afin d'user les « deux côtés » de la courroie en même temps. En fait, la description du ruban de Möbius fera apparaître que la courroie n'avait qu'un seul côté[réf.nécessaire].
Une molécule en demi-ruban de Möbius (torsion de 90°) a été synthétisée. Elle compte 13 atomes de carbone et 2 atomes de chlore et existe en version "gauche" ou "droite". On peut basculer de l’une à l’autre.
Définition par identification abstraite La construction ci-dessus (par recollement d'une bande après torsion d'un demi-tour) se formalise en disant que le ruban de Möbius est le mapping torus de l'homéomorphisme [–1, 1] → [–1, 1], x ↦ –x, c'est-à-dire l'espace produit quotienté par la relation d'équivalence (x, 1) ∼ (–x, 0). On obtient ainsi un fibré de fibre [–1, 1] sur le cercle S.
Par comparaison, le ruban « normal » (tronc de cylindre) correspond à l'homéomorphisme identité de [–1, 1] donc au fibré trivial, le produit [–1, 1]×S.
Cela permet de voir mathématiquement ce qui se passe quand on découpe le ruban : si p : [–1, 1]×[0, 1] → ([–1, 1]×[0, 1])/∼ désigne l'application de passage au quotient, p({0}×[0, 1]) est un cercle dont le complémentaire est connexe.
On peut aussi réaliser le ruban de Möbius comme le complémentaire d'un disque ouvert dans le plan projectif réel.
Représentations artistiques Le ruban de Möbius apparaît dans de très nombreuses productions artistiques.
Logo vignette|Le logo des matériaux recyclables depuis 1970 rappelle le ruban de Möbius. Une version schématisée du ruban de Möbius est utilisée comme symbole du recyclage depuis le premier Jour de la Terre en 1970. La boucle de Möbius indique qu'un produit peut être recyclé, ou qu'il a été fabriqué à partir de matériaux recyclésAnneau de Möbius et recyclage.. Il s'agit en fait d'un ruban à trois demi-tours. Une version du ruban de Möbius est utilisée comme logo pour Visual Studio, l'outil de développement informatique de MicrosoftIl s'agit d'un ruban à 4 demi-tours, donc non topologiquement équivalent à un ruban de Möbius (il a deux faces).. Il est également devenu le logo de Google Drive, le service de stockage de données en ligne de Google. Il est aussi le symbole du groupe de K-pop Infinite. Le logo du Léman Express, le réseau express régional de la région franco-valdo-genevoise, a pour logo ce ruban, qui représente ici le lac Léman. Le logo de la marque automobile Renault s'inspire d'un ruban de Möbius.
Films et séries Moebius, film de science fiction argentin de Gustavo Mosquera R., sorti en 1996. Thru the Moebius Strip, film entièrement numérique de 80 minutes réalisé par Frank Foster à Global Digital Productions (Hong Kong) « », 8 mars 2006.. Le film est sorti aux États-Unis en 2005. Le ruban de Möbius a aussi été utilisé dans l'épisode Le fauteuil de l'oubli du dessin animé Ulysse 31 où les enfants du protagoniste se retrouvaient condamnés à une marche sans fin sur le ruban. Moebius est également le nom du double épisode final de la saison 8 de Stargate SG-1. Lost Highway de David Lynch est souvent comparé à un ruban de Möbius. Au début de l'intrigue, Fred Madison, de l'intérieur de sa maison, reçoit un appel par interphone. Et à la fin, c'est lui-même, qui de l'extérieur de la maison, parle dans l'interphone, idem pour Timecrimes. Dans la série Awake, l'esprit du détective Michael Britten est considéré comme un ruban de Möbius par l'un des psychanalystes. En 2013, un film d'espionnage réalisé par Eric Rochant, avec Jean Dujardin et Cécile de France, a pour titre Möbius. Dans un épisode de Futurama, Farnsworth fait une course contre Leela sur une piste en forme de ruban de Möbius. Dans le opus de l'univers cinématographique Marvel, Avengers: Endgame, qui s'attaque à la problématique du voyage dans le temps. Ayant compris que ce dernier se comporte comme une boucle, Tony Stark utilise le ruban de Moebius comme figure mathématique pour résoudre le problème de l'exploration temporelle. Dans le épisode de Sakura, Chasseuse de Cartes, on y voit la Carte de "The Loop" représentée par un ruban de Möbius qui lui permet de modifier l'espace voulu en un circuit fermé et infini.
Dans JoJo's Bizarre Adventure à la partie 6, Jolyne Kujo, l'héroïne de la partie, utilise Stone Free, son stand, pour fabriquer un ruban de Möbius afin de se protéger de l'inversion de gravité de Enrico Pucci et son stand, C-moon. Dans la série Loki, l'agent Mobius porte le nom de ce ruban. Dans "Exit 8", film japonais inclassable sorti en France en , et riche en allusions mathématiques, une publicité sur le mur du couloir de métro dont on ne sort que difficilement, voire jamais, montre un dessin de fourmis trottant sur un ruban de Möbius.
Jeux vidéo « Mobius 1 » est le nom de code (codename) du pilote contrôlé dans le jeu Ace Combat 4: Distant Thunder. Son insigne personnel est un ruban de Möbius. « Mobius Ring » est une course des jeux F-Zero AX et F-Zero GX sortis en Arcade et sur Gamecube. « Möbius maze » est l'un des huit lieux cachés dans le jeu de rôle Light of Oblivion sorti sur PlayStation et PC .