Le moment d'inertie d'un système physique est une grandeur qui caractérise son inertie vis-à-vis des mouvements de rotation. Sa masse caractérise son inertie vis-à-vis des mouvements de translation. Ce moment d'inertie dépend de la valeur et de la répartition des masses au sein du système. Il a pour dimension (produit d'une masse par le carré d'une longueur) et s'exprime donc en selon le système international d'unités (SI).
Dans le cas de la rotation d'une masse autour d'un axe fixe, le moment d'inertie par rapport à cet axe est une grandeur scalaire qui apparaît dans les expressions du moment cinétique et de l'énergie cinétique de rotation de ce corps. Toutefois, dans le cas général d'une rotation autour d'un axe dont la direction varie au cours du temps, il est nécessaire d'introduire un tenseur symétrique du second ordre, le tenseur d'inertie. Il est toujours possible de choisir un système d'axes, dits axes principaux d'inertie, tel que la matrice représentative de ce tenseur prenne une forme diagonale. Les trois moments correspondants sont les moments principaux d'inertie. Dans le cas particulier d'un solide homogène, ils ne dépendent que de la forme géométrique de celui-ci.
En mécanique des matériaux, le terme « moment d'inertie » est parfois utilisé pour déterminer la contrainte dans une poutre soumise à une flexion. Il s'agit alors en fait d'une grandeur physique différente, le moment quadratique, qui a pour dimension (il est exprimé en dans le SI).
Approche empirique Résistance au mouvement vignette|upright=.6|Le mouvement demande plus d'énergie que le , du fait de son moment d'inertie supérieur.
Le moment d'inertie est au mouvement de rotation l'analogue de la masse pour le mouvement de translation : il reflète la « résistance » qu'oppose un corps à sa mise en mouvement.
Cette difficulté est d'autant plus grande, dans le cas de la rotation d'un solide, que les masses en son sein se trouvent éloignées de l'axe de rotation. Par exemple, dans le cas d'un balai pris en main au milieu du manche ( figure ci-contre), il est plus aisé de le faire tourner autour de l'axe du manche (), qu'autour de l'axe transversal indiqué (). En effet, dans ce dernier cas, la brosse, dont la masse relative par rapport au manche est importante, est située plus loin de l'axe de rotation que dans le premier cas (il y a également une asymétrie dans la répartition des masses autour de l'axe de rotation). Comme pour un solide en rotation, la vitesse linéaire d'un point croît en proportion avec cet éloignement, il est nécessaire, à vitesse angulaire égale, de communiquer une plus grande énergie cinétique aux points éloignés. D'où la plus grande « résistance » du balai à tourner autour d'un axe transversal qu'autour de l'axe du manche.
Énergie nécessaire au mouvement Dans cette analogie, l'énergie nécessaire à la mise en mouvement se transforme (d'une manière ou d'une autre) en énergie cinétique. Dans le cas d'un mouvement de translation, l'énergie cinétique d'un point de masse m avec une vitesse v est donnée par la formule . Dans le cas d'une rotation d'un solide autour d'un axe fixe à la vitesse angulaire ω, il est montré ci-après que l'énergie cinétique totale s'écrit sous la forme , où le terme est précisément le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation, c'est-à-dire une forme analogue à celle de l'énergie cinétique du mouvement de translation. Le moment d'inertie apparaît ainsi comme l'analogue de la masse (inerte) du solide dans le cas du mouvement de translation, et est donc en relation avec la « résistance » de celui-ci à sa mise en rotation. Dans l'exemple du balai, le moment d'inertie est plus faible dans le cas d'une rotation autour de l'axe du manche que dans le cas d'une rotation autour de l'axe transversal, d'où une plus grande « résistance à tourner » dans le second cas.
Mise en évidence et définition du moment d'inertie Soit un solide, considéré comme composé de plusieurs points matériels de masse , dont les distances mutuelles sont fixes. Ce système est en mouvement de rotation autour d'un axe , fixe dans le référentiel d'étude, à la vitesse angulaire , qui est la même (à un instant donné) pour tous les points du système. Le moment d'inertie autour de l'axe apparaît alors naturellement dans les expressions de l'énergie cinétique et du moment cinétique du solide considéré.
Énergie cinétique de rotation L'énergie cinétique étant une grandeur extensive, c'est-à-dire que sa valeur sur un système complexe est la somme des valeurs sur les parties élémentaires, l'énergie cinétique totale du solide considéré s'exprime donc sous la forme : , avec : , vecteur distance du point à l'axe de rotation ( désignant la projection de sur ) ; , la vitesse du point , égale à pour un mouvement de rotation à vitesse angulaire ; .
Cette expression possède une analogie évidente avec celle de l'énergie cinétique pour un point matériel (ou un solide en translation), où celle-ci s'écrit . Dans le cas de la rotation, la vitesse angulaire est l'homologue de la vitesse linéaire , et le moment d'inertie comme l'homologue de la masse . Toutefois, le moment d'inertie dépend également de la répartition des masses autour de l'axe et sa valeur dépend donc du choix de celui-ci.
En tant qu'homologue de la masse (inerte) pour la rotation, ce terme reflète bien la «résistance» du solide à sa mise en rotation, comme il avait été indiqué dans l'approche empirique précédente.
Moment cinétique de rotation du solide De la même façon que pour l'énergie cinétique, et du fait du caractère extensif de cette grandeur, le moment cinétique du solide par rapport à un point quelconque de l'axe s'exprime alors sous la forme, en utilisant les mêmes notations que précédemment :
Comme la vitesse d'un point est donnée par où désigne maintenant le vecteur vitesse angulaire, la composante du moment cinétique colinéaire à l'axe de rotation correspond au second terme de la sommeEn effet est nécessairement perpendiculaire à , qui lui-même est colinéaire à l'axe , O étant situé sur cet axe., et se met sous la forme : , puisque par hypothèse.
Dans les deux cas apparaît la grandeur caractéristique, qui ne dépend que de la géométrie des masses du solide, appelé moment d'inertie par rapport à l'axe : .
Remarque : il convient de souligner que , moment cinétique du solide au point de l'axe de rotation n'est pas en général colinéaire à cet axe. Ce n'est que si l'axe de rotation coïncide avec un axe principal d'inertie du solide, ce qui est notamment le cas s'il est un axe de symétrie matérielle du solide, c'est-à-dire à la fois axe de symétrie géométrique et que pour tout couple de points symétriques l'un par rapport à l'autre on ait , que sera colinéaire à l'axe de rotation. En fait on aura alors par rapport à tout point situé sur l'axe de rotation.
Unités du moment d'inertie Du fait de sa définition, le moment d'inertie a les dimensions d'une masse multipliée par le carré d'une longueur, soit . Son unité dans le système international d'unités pourra donc naturellement être exprimée en , unité qui n'a pas de nom propre.
On peut cependant remarquer que dans la relation , la vitesse de rotation n'est pas exprimée en , mais en . Toutefois, étant défini comme le rapport de deux longueurs, le radian, considéré comme unité dérivée du système international depuis la générale du BIPMRésolution 8 de la (1995), bipm.org., est sans dimension, par suite ceci n'affecte pas l'homogénéité de l'équation aux dimensions de l'expression de l'énergie cinétique. Il ne serait cependant pas faux que le moment d'inertie soit exprimé en , mais ce choix est rarement retenu en pratique. Son seul intérêt serait de rappeler qu'il s'agit d'une unité spécifiquement rattachée au mouvement de rotation, comme pour toutes les unités où le radian apparaît.
Généralisation à un solide quelconque Par extension, dans un solide considéré comme un ensemble continu de points matériels affectés d'une masse volumique , le moment d'inertie s'écrit à l'aide d'une intégrale triple plutôt que d'une somme :
où est la distance entre le point et l'axe Δ ; est un volume élémentaire autour de ; est la masse de ce volume élémentaire ; est la masse volumique autour de .
Cette définition peut également prendre une forme vectorielle :
où est un point sur l'axe ; est un point du solide considéré ; est un vecteur unitaire de l'axe ; désigne le produit vectoriel et la norme euclidienne.
Généralisation à un système quelconque En toute rigueur, la notion de moment d'inertie n'est définie que si la quantité peut être isolée des expressions de l'énergie cinétique ou du moment cinétique de rotation, c'est-à-dire que dans la mesure où la vitesse angulaire est la même pour les points du système à un instant donné. Ceci n'est valable strictement que dans le cas du modèle du solide indéformable.
Toutefois, la définition précédente peut s'étendre à un système déformable, dès lors qu'il ne présente pas de rotation différentielle, ou que l'on peut négliger l'effet de celle-ci, de façon qu'il soit possible de considérer que tous les points du système ont à un instant donné la même vitesse angulaire. Par exemple un système articulé, constitué de plusieurs solides reliés entre eux par des liaisons, en rotation autour d'un axe fixe, si les vitesses angulaires de rotation entre les diverses parties sont petites devant la vitesse angulaire de rotation « globale ». Toutefois, pour un système déformable, le moment d'inertie n'est plus constant dans le temps.
Moment d'inertie et moment cinétique
Dans la comparaison entre le mouvement de rotation et le mouvement de translation, le moment cinétique est l'homologue de la quantité de mouvement, et pour un système isolé est une grandeur conservative.
Comme indiqué précédemment, il découle de la définition du moment d'inertie que plus les masses constituant un solide sont réparties loin de l'axe de rotation, plus son moment d'inertie par rapport à cet axe est important. Comme la composante axiale du moment cinétique est égale au moment d'inertie multiplié par sa vitesse angulaire de rotation, et du fait de son caractère conservatif, si le moment d'inertie d'un système diminue du fait d'une variation de sa géométrie interne, sa vitesse angulaire de rotation doit augmenter (et inversement).
Ainsi, le patineur sur glaceIl s'agit là d'un système déformable, mais pour lequel on peut considérer que la vitesse angulaire de rotation à un instant donné est la même pour tous les points du système, cf. remarque précédente. rapproche les bras de son corps lors d'une pirouette. Cela a pour effet de diminuer son moment d'inertie, ce qui, par conservation du moment cinétiquele patineur dépensant autant d'énergie., implique une plus grande vitesse de rotation.
De même, les enfants jouant à mettre en rotation un tourniquet en courant à ses côtés atteignent une vitesse de rotation limitée par leur course. Ils peuvent cependant ensuite sauter sur le tourniquet en mouvement, puis se positionner en son centre, augmentant ainsi significativement la vitesse de rotation initialement obtenue.
Cas général : tenseur d'inertie