Le théorème de Müntz-Szász est un résultat fondamental de la théorie de l'approximation, conjecturé en 1912 par Sergueï Bernstein. et démontré en 1914 par Herman Müntz.. En 1916, Otto Szász l'a étendu à des exposants complexes et en a fourni une preuve plus simple..
Pour un segment quelconque de ℝ, le théorème de Weierstrass assure que toute fonction continue de dans ℂ est limite uniforme d'une suite de polynômes.
Le théorème de Müntz-Szász est une généralisation du théorème de Weierstrass, dans le cas où le segment est positif, avec un ensemble d'« exposants de monômes » différent de celui des entiers naturels, mais satisfaisant une condition analogue à celle de la divergence de la série harmonique.
Énoncé Soient : une suite strictement croissante de réels strictement positifs ; avec ; l'espace vectoriel normé des fonctions continues de dans (muni de la norme de la convergence uniforme) ; le sous-ensemble des fonctions , auxquelles on adjoint, si , la fonction constante . Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :
est total dans , (c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel qu'il engendre est dense).
La suite satisfait :
Démonstration du sens indirect Nous allons démontrer que l'hypothèse est suffisante pour que soit total dans . La preuve suivante. (pour ) nécessite l'hypothèse supplémentaire, 1978, th. 15.26, , donne une démonstration sans cette hypothèse, à l'aide d'un théorème sur la répartition des zéros d'une fonction holomorphe bornée sur un disque. mais
Les hypothèses sont donc :
et il suffit (d'après le théorème de Weierstrass) de montrer que pour tout entier , il existe une suite de fonctions , combinaisons linéaires (à coefficients complexes) des , telle que la différence converge uniformément vers sur . On définit par récurrence une telle suite en posant :
On vérifie facilement (par récurrence) que : chaque est la différence de et d'une combinaison linéaire des pour ; en notant ║ ║ la norme de la convergence uniforme sur ,ou encore, en appliquant le logarithme :
Puisque , on a l'équivalent
Par comparaison des séries, on en déduit que , c'est-à-dire .
Notes et références
Muntz