En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions.

La connaissance des vecteurs et valeurs propres offre une information clé sur l'application linéaire considérée. De plus, il existe de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l'application linéaire.

Ce concept appartient à l'origine à une branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. Son utilisation, cependant, dépasse maintenant de loin ce cadre. Il intervient aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées. Il apparaît par exemple en géométrie dans l'étude des formes quadratiques, ou en analyse fonctionnelle. Il permet de résoudre des problèmes appliqués aussi variés que celui des mouvements d'une corde vibrante, le classement des pages web par Google, la détermination de la structure de l'espace-temps en théorie de la relativité générale, ou l'étude de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique.

Histoire Genèse

L'association entre la géométrie et l'algèbre, à travers la notion de coordonnées, fut introduiteR. Descartes, La Géométrie, 1637 en 1637 par René Descartes et Pierre de Fermat. Le contexte est donné pour l'apparitionJ. de Witt, commentaire de la version latine de La Géométrie de Descartes, 1660 de premiers résultats d'algèbre linéaire comme le calcul d'un déterminant. Ces résultats serviront par la suite d'outil d'analyse des valeurs propres. Cependant, les mathématiques de cette époque ne disposent pas encore des notions indispensables de l'algèbre linéaire, comme une géométrie correspondant à notre espace vectoriel, où les éléments sont définis par leurs opérations.

Le début du voit l'apparition d'outils importants pour la théorie des valeurs propres. En 1799, Carl Friedrich Gauss démontre la clôture algébrique des nombres complexes C. F. Gauss, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicum…, 1799.. Des espaces vectoriels plus vastes sont étudiés. Gauss formalise le problème de la résolution d'un système d'équations linéaires avec la méthode du pivot en retrouvant une méthode décrite par un mathématicien chinois Liu Hui ( ) près de auparavant.

Des problématiques où les valeurs propres représentent la bonne approche sont étudiées. Joseph Fourier étudie une solution. de l'équation de propagation à l'aide d'un outil que l'on appellera plus tard une base de vecteurs propres. Enfin en 1834, Hamilton utilise W. R. Hamilton, On a General Method in Dynamics, 1834, un polynôme caractéristique pour trouver ce que l'on appelle maintenant les valeurs propres associées à l'endomorphisme d'une équation différentielle linéaire issue de la mécanique. Cependant, l'absence de formalisation suffisante de la notion d'espace vectoriel empêche l'apparition claire du concept.

Origine du mot

La formalisation algébrique d'un espace vectoriel apparait vers le milieu du . Arthur Cayley initie l'étude des espaces vectoriels de dimension n. et de leurs applications linéaires.. Grassmann formalise le concept H. G. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre – ein neuer Zweig der Mathematik, Leipzig, 1844. Même si, en tant que mathématicien il est peu reconnu à cette époque, dès 1845, des idées analogues sont reprises par Cauchy et publiées sous une forme plus définitiveA. L. Cauchy, Mémoire sur les clefs algébriques, 1854 neuf ans plus tard. Sylvester utilise pour la première fois le terme de matrice. en 1850. Il utilise la notion de valeur propre dans le cas des formes bilinéaires pour la résolution de problèmes sur le principe mécanique de l'inertieJ. J. Sylvester, , 1852 deux ans plus tard. La notion de matrice est finalement définie de manière générale et abstraite. par Cayley en 1858.

Jordan publie un livre. définitif sur les endomorphismes en dimension finie et pour une large famille de nombres, dont les complexes et réels. Jordan analyse le rôle des vecteurs propres et de leur exact domaine d'application dans une théorie maintenant connue sous le nom de réduction d'endomorphisme. La finalité de son texte n'est pas l'algèbre linéaire mais la théorie des groupes et de leurs représentations. La théorie est ainsi présentée dans le contexte des corps finis. Il termine le chapitre des valeurs propres dans le cas de la dimension finie et des corps de nombres algébriquement clos. La terminologie française provient des travaux de Jordan.

Le début du apporte un regard nouveau sur la géométrie. La résolution de l'équation intégrale amène certains mathématiciens à considérer une géométrie sur les ensembles de fonctions. Frigyes Riesz utilise des systèmes orthogonaux de fonctionsF. Riesz, « Sur les systèmes orthogonaux de fonctions », CRAS, vol. 144, 1907, .. Erhard Schmidt soutient sa thèse. sur un sujet analogue, sous la direction de David Hilbert. Les travaux. de Hilbert apportent à la notion de valeur propre une nouvelle profondeur. Ils correspondent à la formalisation de la démarche intuitive qui avait amené Fourier à la résolution de l'équation de la chaleur. Les ensembles de fonctions deviennent un espace vectoriel dont la géométrie est calquée sur celle d'Euclide. L'équation intégrale devient l'analogue d'un système linéaire et l'application linéaire prend le nom d'opérateur différentiel. Une nouvelle branche des mathématiques est née : l'analyse fonctionnelle. Elle devient rapidement le cadre général de résolution d'une large famille de problèmes mathématiques, en particulier l'analyse, les équations différentielles ou les équations aux dérivées partielles. Les valeurs propres sont un des outils essentiels à la résolution de ces problèmes. Elles s'avèrent indispensables en physique pour des théories comme la mécanique quantique ou la relativité générale. Pendant une longue période les anglo-saxons utilisent indifféremment les termes de proper value et eigenvalue, provenant respectivement de la traduction des textes de Jordan et de Hilbert. Le vocabulaire est maintenant fixé au bénéfice de la deuxième expression.

Valeur propre et À la fois dans le contexte de la dimension finie et pour le cas général, le voit un développement massif de ces théories. Le cas de dimension finie subit deux évolutions : cette théorie est généralisée à d'autres ensembles de nombres que les réels ou les complexes. De plus, des mathématiciens comme Issai Schur, Alexeï Krylov, ou Nelson Dunford développent quantités d'algorithmes pour permettre la détermination des valeurs propres. Le cas général est cependant le plus étudié. Il ouvre la voie à une branche importante tout au long de ce siècle, l'analyse fonctionnelle. La théorie des valeurs propres est alors généralisée à la théorie spectrale. Paul Dirac et John von Neumann étudient ce concept dans un cadre servant de modélisation à la physique. Israel Gelfand, Mark Naimark et Irving Segal appliquent ces concepts à des univers plus vastes, les C*-algèbres. Sur la base de résultats de géométrie algébrique trouvés par Alexandre Grothendieck, Alain Connes développe un cas particulier de C*-algèbres, les géométries non commutatives. La théorie spectrale reste encore un large champ d'investigations mathématiques, et nombre de problèmes sont toujours ouverts dans ce domaine.

Les valeurs propres et, dans son cas le plus général, la théorie spectrale ouvrent de nombreux champs d'applications à la fois théoriques et appliqués. En mathématique, cette approche permet par exemple la résolution d'équations différentielles, ou d'équations aux dérivées partielles. La physique utilise très largement la théorie spectrale : elle sert de cadre général à la mécanique quantique et permet par exemple l'étude de l'équation de Schrödinger. Les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps sont des vecteurs propres. Les théories physiques de la fin du comme les supercordes utilisent largement les notions de spectre dans des cadres mathématiques avancés, par exemple les géométries non commutatives. Les sciences de l'ingénieur ne sont pas en reste, même si elles se cantonnent en général à une approche de dimension finie. Elles utilisent quantité d'algorithmes issus des calculs de valeurs propres et vecteurs propres. Cette approche permet de résoudre de multiples problèmes tirés par exemple de la mécanique statique ou dynamique, des systèmes électriques et même dans d'autres secteurs comme l'économie.

Définition Définition intuitive Une application linéaire est une application qui transforme les vecteurs en conservant les propriétés d'addition des vecteurs et les rapports de colinéarité entre vecteurs. Ainsi, si un vecteur w est la somme de deux vecteurs u et v, alors l'image de w par l'application est la somme de l'image de u et de l'image de v. De plus, l'image de av est a fois l'image de v (pour tout scalaire a). Plusieurs transformations géométriques usuelles (homothétie de centre 0, rotation de centre 0) sont des applications linéaires.

La figure 2 illustre par un exemple une application linéaire. On remarque que le vecteur vert est la somme des deux vecteurs bleu et noir avant transformation, et que c'est encore le cas après. De même le vecteur bleu est le triple du vecteur rouge avant la transformation, et ça reste le cas une fois qu'on l'a appliquée. On voit un vecteur propre en noir de valeur propre 1/2 : on passe du vecteur initial au vecteur image par multiplication de rapport 1/2.

Un vecteur est dit vecteur propre par une application linéaire s'il est non nul et si l'application ne fait que modifier sa taille sans changer sa direction (à ne pas confondre avec son sens !). Une valeur propre associée à un vecteur propre est le facteur de modification de taille, c’est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier le vecteur pour obtenir son image. Ce facteur peut être positif, négatif (renversement du sens du vecteur) ou nul (vecteur transformé en un vecteur de longueur nulle). Un espace propre associé à une valeur propre est l'ensemble des vecteurs propres qui ont une même valeur propre et le vecteur nul. Ils subissent tous la multiplication par le même facteur.

Définition mathématique Soit E un espace vectoriel sur K et u un endomorphisme de E, alors :

le vecteur x de E non nul est dit vecteur propre de u si et seulement s'il existe un élément λ de K tel que u(x) = λx ; le scalaire λ élément de K est dit valeur propre de u si et seulement s'il existe un vecteur x non nul de E tel que u(x) = λx ; soit λ une valeur propre de u. Alors l'ensemble constitué des vecteurs propres de valeur propre λ et du vecteur nul forme un sous-espace vectoriel de E appelé espace propre de u associé à la valeur propre λ.

Le vocabulaire des éléments propres dans différentes disciplines

En mécanique, on étudie les fréquences propres et les modes propres des systèmes oscillants. En analyse fonctionnelle, une fonction propre est un vecteur propre pour un opérateur linéaire, c'est-à-dire une application linéaire agissant sur un espace de fonctions. En géométrie ou en optique, on parle de directions propres pour rendre compte de la courbure des surfaces. En théorie des graphes, une valeur propre est simplement une valeur propre de la matrice d'adjacence du graphe.

Exemples