vignette|Illustration de l'inégalité de Bernoulli pour En analyse, l'inégalité de Bernoulli — portant le nom du mathématicien Jacques Bernoulli — énonce que :
pour tout entier Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com et tout réel supérieur ou égal à . De plus, l'inégalité ci-dessus est stricte si est non nul et seulement dans ce cas.
Démonstrations
Par récurrence Soit un réel . Montrons l'inégalité stricte pour tout entier , par récurrence sur . Initialisation : donc la propriété est vraie pour . Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que et montrons que la propriété est vraie au rang suivant , c'est-à-dire montrons que .En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : . Conclusion : la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier .
Remarquons enfin que si alors
pour tout entier . Il y a donc inégalité stricte si, et seulement si, .
Utilisant la formule du binôme et la formule des séries géométriques D'après la formule du binôme, si ,
et d'après la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, si : , d'où .
Utilisant la notion de convexité La courbe d'une fonction strictement convexe se trouve strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact.
Plus précisément, si est strictement convexe dérivable sur un intervalle et un point de , alors : .
Appliquant ceci à qui est bien strictement convexe sur pour car est strictement croissante sur cet intervalle, en prenant on obtient bien .
Généralisation
Exposant étendu à un réel >1 Pour tout réel et tout réel supérieur ou égal à , on a encore : . avec égalité si, et seulement si, est nul. La démonstration par convexité fonctionne de la même façon, mais on peut effectuer la démonstration élémentaire suivante :
Cas d'un réel strictement compris entre 0 et 1 Pour tout réel et tout réel supérieur ou égal à , on a cette fois :.La fonction définie par est cette fois strictement concave sur car sur , d'où le changement de sens de l'inégalité.
Utilisations
L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel , la limite de la suite géométrique est égale à .
Elle peut aussi être utilisée pour démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : .
Notes et références
Bernoulli Catégorie:Analyse convexe Catégorie:Jacques Bernoulli