En mathématiques, l’inégalité de Schur, portant le nom du mathématicien Issaï Schur, est une inégalité concernant les nombres réels.

Énoncé

Soit des nombres réels strictement positifs et un réel quelconque, alors :

avec égalité si et seulement si sont égaux.

Démonstration Quitte à permuter les variables, on peut supposer .

Si :

Le cas d'égalité s'obtient bien pour .

Si :

Le cas d'égalité s'obtient aussi pour .

Cas particulier Dans le cas , l'inégalité de Schur se réécrit sous les formes suivantes :

(développer )

La deuxième forme, dans le cas où sont les longueurs des côtés d'un triangle, s'écrit, compte tenu de la formule de Héron : où est l'aire du triangle.

Et compte tenu des expressions des formules des rayons des cercles circonscrit et inscrit : et , l'inégalité de Schur est donc équivalente à l'inégalité d'Euler : .

Notes et références

Schur