En mathématiques, le triple produit de Jacobi, dû à Charles Gustave Jacob Jacobi, est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit infini. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème des nombres pentagonaux.
Soient et des nombres complexes, avec || < 1 et ≠ 0. Alors, , th. 352., th. 14.6..
.
Reformulations Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta. Prenons et ; le membre de droite est alors la fonction thêta :
.
Le triple produit de Jacobi revêt une forme très compacte sous forme de q-séries : en posant et , il se réécrit
ou encore , où les sont des q-symboles de Pochhammer : .
Il prend également une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la (en posant q = ab et c = 1/b) : pour , .
Corollaires Le théorème des nombres pentagonaux d'Euler se déduit du triple produit de Jacobi en prenant et dans . On obtient alors l'expression de la fonction d'Euler, th. 353.. :
.
En prenant dans , on obtient : .
On peut se servir du triple produit de Jacobi pour démontrer l'identité du produit quintuple. : .
Notes et références
Articles connexes Fonction êta de Dedekind Identité du produit quintuple
Identités de Rogers-Ramanujan
Catégorie:Théorie analytique des nombres