vignette|Inégalité de Huygens sur le cercle trigonométrique|200 px L'inégalité de Huygens est un résultat mathématique établissant que, sur l'intervalle de , l'inégalité suivante est vérifiée : .
Cette inégalité signifie que, dans le dessin ci-contre, la longueur de l'arc BC est inférieure à la moyenne pondérée de la longueur CD affectée du coefficient 2 et de la longueur BE affectée du coefficient 1, ou, plus simplement, que la longueur de l'arc BC est plus petite que celle du segment [BG].
Démonstration par l'utilisation de la dérivée
Soit f fonction qui à tout x de , associe . Cette fonction est dérivable sur cet intervalle comme somme de fonctions dérivables. La fonction dérivée de f est la fonction f' qui à tout x de l'intervalle considéré associe : . Sur l'intervalle considéré, les inégalités suivantes sont vérifiées : et .
Donc, et la fonction f est croissante sur l'intervalle considéré.
On remarque l'égalité : par conséquent :
Note historique Cette inégalité, associée à cette minorationChristian Huygens, De circuli magnitudine inventa, Théorème VII Proposition VII, Œuvres complètes de Christiaan Huygens. Travaux de mathématiques pures, 1652-1656 / publ. par la Société hollandaise des sciences, p 132:
fournit un meilleur encadrement de x que le simple encadrement
Appliqué à , cet encadrement sert à améliorer la méthode d'Archimède pour calculer Pi. En fait, Snell, dans sa Cyclometria (1621) énonçait déjà cette formule, mais sans la démontrer rigoureusementCf. . Huygens dans son ouvrage de Circuli dimensione (1654) se propose de démontrer ces inégalités et d'en présenter d'autres, utiles à la quadrature du cercle approchéeHuygens craint en particulier de se faire devancer par Marcus Marci (Œuvres complètes de Christiaan Huygens. Travaux de mathématiques pures, 1652-1656 / publ. par la Société hollandaise des sciences, p. 98). Ce problème ancien, déjà abordé par Nicolas de Cuse dans son De mathematica perfectione (1512), avait fait l'objet plus récemment d'un travail de Grégoire de Saint-Vincent, Opus geometricum quadraturae circuli (1647).
La démonstration de Huygens diffère de celle indiquée ci-dessus : elle est géométrique. Bien que Huygens dans des travaux ultérieurs sur la cycloïde détermine les tangentes de diverses courbes, il restera toujours prudent vis-à-vis du calculus.
La démonstration que l'on peut tirer du de CirculiChristian Huygens, De circuli magnitudine inventa, théorèmes IV, VI, VIII et IX, est assez astucieuse et se réfère, d'une part à une inégalité d'aires, itérée, d'autre part à des propriétés de proportionnalités entre segments.
Il existe de nos jours des dizaines d'inégalités de ce type Voir par exemple Some new inequalities of the Huygens type, Ling Zhu, 2009,ou encore The natural approach of wilker-cusa-huygens inequalities, Cristinel Mortici, 2010 démontrées maintenant avec des outils d'analyse (Développement limité, règle de l'Hôpital sur la monotonie,...)
Notes et références
Voir aussi Articles connexes pi Histoire du calcul infinitésimal Quadrature du cercle Bibliographie Œuvres complètes de Christiaan Huygens. Travaux de mathématiques pures, 1652-1656 / publ. par la Société hollandaise des sciences - 1888/1950- Bibliothèque nationale de France, 4-R-788 (12)
Huygens Catégorie:Trigonométrie