En mathématiques, l'espace est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour , une structure d'espace de Banach.
Motivation Considérons l'espace vectoriel réel ℝ, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels.
La norme euclidienne d'un vecteur est donnée par : .
Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur ℝ, appelée la p-norme, en posant :
pour tout vecteur .
Pour tout p ≥ 1, ℝ muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, il est complet pour cette norme.
Espace ℓ La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace ℓ (noté aussi ℓ(ℕ) car on peut définir de même ℓ(X) pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).
Plus précisément, ℓ sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :
et la multiplication par un scalaire par :
On définit la p-norme d'une suite :
La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n'importe quel .
L'espace ℓ est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.
On définit aussi la « norme » comme :
et l'espace vectoriel correspondant ℓ est l'espace des suites bornées.
Propriétés Pour tout ensemble X, l'espace ℓ(X) des fonctions bornées sur X (à valeurs réelles ou complexes) est de Banach, c'est-à-dire que toute suite uniformément de Cauchy de fonctions bornées sur X converge uniformément (vers une fonction bornée). De même, pour , ℓ(ℕ) est de Banach. (Ce sont deux cas particuliers du théorème de Riesz-Fischer, qui concerne tous les espaces .) Dans ℓ, un sous-espace remarquable est l'espace c des suites convergentes. Il est fermé (donc complet), puisque toute limite uniforme de suites convergentes est convergente ; ou encore : c est complet (donc fermé dans ℓ), puisqu'isométriquement isomorphe à l'espace (complet) des applications continues (donc) bornées sur le compact , compactifié d'Alexandrov de ℕ discret. Pour 1 < p < , l'espace de suites ℓ est réflexif. Son dualGeorges Skandalis, Topologie générale, Masson. est l'espace ℓ, avec + = 1 ; Dans ℓ, le sous-espace c des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est ℓ et le dual de ℓ est ℓ. Par conséquent, ℓ et ℓ ne sont pas non plus réflexifs. Pour tout r < et tout ∈ ℓ, l'application est décroissante sur . En effet, si p ≥ q ≥ r on a || / ≤ 1 pour tout indice k, doncen sommant cette inégalité sur k on en déduit . La fonction est aussi continue sur . En particulier. :
Notes et références
Articles connexes Base de Schauder Espace Famille sommable
Liens externes
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