vignette|Représentation de 71824 à l'aide de baguettes à calculer, Yang Hui () - Encyclopédie de Yongle Les baguettes à calculer (en ) sont des bâtonnets d'environ de longVolkov signale que, dans les sources historiques, la longueur des baguettes est variable de utilisés par les Chinois dès le pour effectuer des calculs. Le système s'appuie sur une représentation des nombres selon une numération décimale positionnelle.
Ce système précède de plusieurs siècles le système de calcul avec boulier. Il permet des opérations simples comme les additions et les soustractions, mais aussi des opérations plus complexes comme les multiplications, les divisions, les extractions de racines. Avec l'introduction d'une représentation spéciale pour les nombres négatifs, il permet de travailler sur des notions plus abstraites comme la résolution de systèmes d'équations linéaires, le calcul sur les coefficients de polynômes, avec la méthode de Ruffini-Horner, ou la représentation de polynômes à deux variables.
Histoire
La description la plus ancienne de ce système se trouve dans l'ouvrage Hanshu (Histoire des Hans) rédigé par Ban Gu au Ce système est appelé selon les sources suan, ou chou ou chousuan ou suanchou, suanzi durant la dynastie des Song, le terme suan ayant probablement le sens de baguette. Mais l'usage d'un tel système de calcul est probablement antérieur au . On trouve en effet des références à un procédé de calcul externe dans des ouvrages plus anciens : dès le Livre des procédures mathématiques (Suanshushu - antérieur à 186 ), on voit apparaitre l'expression «placer le nombre» lors du début de la procédure laissant suggérer l'existence d'une action physique à effectuer. Volkov place donc l'usage des baguettes pour les calculs au plus tard au
vignette|upright=1.5|gauche|Présentation d'un calcul avec baguettes à calculer - Traité mathématique en neuf chapitres (Shushu jiu zhang) de Qin Jiushao ( - Encyclopédie de Yongle Plus on progresse dans les siècles et plus les références à ce système se font précises. L'astronome , au , précise que l'on effectuait des calculs astronomiques à l'aide d'un jeu de 271 baguettes d'environ de long et que ces baguettes servaient également dans la numérologie et la divination. Le Classique mathématique de Sunzi () décrit avec précision le système de représentation et les procédures de calcul. Lorsque, entre les dynasties Tang et Song, autour du , des illustrations sont insérées dans les ouvrages, on a trace, non seulement du procédé d'écriture, mais aussi de la disposition des lignes de calculs lors des opérations.
vignette|upright=1.5|Utilisation de baguettes sur une surface à calculer dans le Japon traditionnel Les calculs effectués avec les baguettes nécessitent une surface plane sur laquelle seraient matérialisées des cases indiquant les diverses décimales et où seraient posées les baguettes. Certains historiens (Li Yan, Joseph Needham, ) ont émis l'hypothèse que cette surface plane serait une planche en bois, découpée en cases. Cependant aucune planche de ce type n'a été retrouvée dans les fouilles archéologiques. De plus, une telle planche devrait être d'une très grande taille pour pouvoir exécuter des calculs avec de très grands nombres. Il semble donc plus raisonnable de penser, selon Chemla et Volkov, que les calculs se faisaient simplement sur le sol ou sur une table, les cases étant seulement imaginées ou bien reproduites sur une toile ou une feuille de papier aisément transportables.
Le développement d'algorithme de calcul s'effectuant dynamiquement dans des cases d'un tableau s'étend naturellement au calcul de fractions puis aux algorithmes de résolution de systèmes d'équations avec introduction des nombres négatifs ( Commentaires de Liu Hui sur Les neuf chapitres sur l'art mathématique ) puis aux calculs sur les polynômes avec recherche de racines selon la méthode de Ruffini-Horner et la résolution de systèmes d'équations non linéaires ().
On peut dater la disparition des baguettes pour les calculs entre le et , remplacées progressivement par l'usage du boulier et la pratique du calcul écrit.
Numération Il s'agit d'une numération de position à base 10 comportant dix-huit symboles, avec un vide pour représenter le zéro. Le principe consiste à représenter à l'aide de baguettes des chiffres de 1 à 9 . La position du chiffre en question disposé sur une surface de calcul indique son ordre de grandeur (de gauche à droite : ..., millier, centaine, dizaine, unité, dixième, centième ...). L'absence de baguette dans une case indique l'équivalent de zéro. Les opérations s'effectuent en déplaçant les baguettes ou en modifiant leur configuration.
Chiffres La numération à bâtons possède deux séries de chiffres allant de 1 à 9. Dans cet article, l'une des deux séries sera identifiée par la lettre A et l'autre par la lettre B. Dans les deux séries, le 0 est représenté par un espace vide. Série 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Fichier:Rods-0.png Fichier:Rods-1a.png Fichier:Rods-2a.png Fichier:Rods-3a.png Fichier:Rods-4a.png Fichier:Rods-5a.png Fichier:Rods-6a.png Fichier:Rods-7a.png Fichier:Rods-8a.png Fichier:Rods-9a.png B Fichier:Rods-0.png Fichier:Rods-1b.png Fichier:Rods-2b.png Fichier:Rods-3b.png Fichier:Rods-4b.png Fichier:Rods-5b.png Fichier:Rods-6b.png Fichier:Rods-7b.png Fichier:Rods-8b.png Fichier:Rods-9b.png
Construction de nombres En tant que système positionnel à base 10, chaque chiffre représente un coefficient d'une puissance de 10 selon la place qu'il occupe. Le chiffre le plus à droite est l'unité du nombre, celui à sa gauche, la dizaine, etc.
Cependant, le chiffre zéro représenté par un vide pose problème : deux nombres tels 62 et 620 seraient difficilement distinguables.
De plus, lorsque l'on pose les bâtons, si Fichier:Rods-2a.png représente le chiffre 2 et Fichier:Rods-1a.png représente le chiffre 1, il n'est pas évident de savoir si Fichier:Rods-3a.png représente 3, 12 ou 21 (ou même 30, 120 ou 210).
C'est pour pallier ces confusions possibles que la numération possède deux séries de chiffres.
La série A sert à noter les chiffres des puissances paires de 10 (unités, centaines, dizaines de milliers, ...) et la série B est utilisée pour les puissances de 10 impaires (dizaines, milliers, ...).
Ainsi, les nombres suivants sont représentées par : 4 : Fichier:Rods-4a.png 72 : Fichier:Rods-7b.pngFichier:Rods-2a.png 256 : Fichier:Rods-2a.pngFichier:Rods-5b.pngFichier:Rods-6a.png 308 : Fichier:Rods-3a.pngFichier:Rods-0.pngFichier:Rods-8a.png 1 007 : Fichier:Rods-1b.pngFichier:Rods-0.pngFichier:Rods-0.pngFichier:Rods-7a.png 81 753 : Fichier:Rods-8a.pngFichier:Rods-1b.pngFichier:Rods-7a.pngFichier:Rods-5b.pngFichier:Rods-3a.png 1,95 : Fichier:Rods-1a.pngFichier:Rods-9b.pngFichier:Rods-5a.png
Il n'y a pas de moyen (comme dans la numération babylonienne) de différencier les nombres décimaux des entiers. Seuls leur position sur la table à calcul et le texte qui les accompagne les différencient. Dans certains ouvrages, l'unité principale est signalée par un symbole placé sous le chiffre des unités. Ainsi l'écriture : Fichier:Rods-1a.pngFichier:Rods-1b.pngFichier:Rods-4a.pngFichier:Rods-4b.pngFichier:Rods-6a.pngFichier:Rods-1b.pngFichier:Rods-5a.pngFichier:Rods-4b.png日 avec l'idéogramme 日 (jour) placé sous le premier 1, signifie que le nombre représenté est 1,1446154 jour.
Les zéros consécutifs sont symbolisés par un espace d'autant plus grand qu'ils sont nombreux.
Fractions Une fraction est représentée à l'aide de deux lignes, la supérieure contenant le numérateur et l'inférieure le dénominateur. Cette représentation est probablement inspirée de l'algorithme de division à l'issue duquel le résultat de la division se présente sur 3 lignes : dans la ligne 1 figure la partie entière du quotient, la partie fractionnaire occupant les lignes 2 (pour le numérateur) et 3 (pour le dénominateur). Ainsi la fraction mixte 13 se représente par : Fichier:Rods-1b.png Fichier:Rods-3a.png Fichier:Rods-2a.png Fichier:Rods-7a.png
Nombres négatifs vignette|Écriture d'un nombre négatif Quand apparaissent les nombres négatifs comme coefficients dans les polynômes ou les systèmes d'équations linéaires, il s'agit de trouver un moyen de les différencier des nombres positifs. Cela peut se faire en utilisant une couleur différente pour les positifs et les négatifs (rouge vs. noir, ou noir vs. blanc) ou en plaçant les nombres négatifs en oblique ou encore en utilisant des baguettes de sections différentes. Dans les ouvrages écrits, on trouve également le nombre négatif identifié par un trait venant barrer le chiffre non nul le plus à droite.
Zéro Avec le système de baguettes, le zéro est symbolisé par un vide. Cependant, lorsque des illustrations de calculs sur surface à calculer viennent compléter les algorithmes dans les ouvrages papier, on voit apparaitre une représentation de l'absence de baguettes par un rond (). Ce symbole est probablement inspiré de la notation du zéro indien sous forme de point.
Calculs Addition et soustraction Comme pour les calculs avec boulier, les opérations s'effectuent à partir des poids les plus forts (de gauche à droite), les retenues étant immédiatement reportées.
Concernant les additions de fractions +, il faut placer les numérateurs (a et c) à gauche, les dénominateurs (b et d) à droite. On réduit ensuite les fractions au même dénominateur en multipliant a par d, puis c et d par b. On ajoute les deux nombres de gauche (qui contiennent respectivement ad et bc) et on met le résultat en haut à droite.
vignette|centré|Addition avec retenue:3748+289=4037vignette|Soustraction avec retenue : 4231-789 = 3442vignette|Somme de deux fractions : +=
Multiplication et division La multiplication nécessite trois lignes. Sur la première ligne est écrite le multiplicande. Sous la ligne du multiplicande, on écrit progressivement le produit des deux nombres. Le multiplicateur se positionne successivement sous chaque chiffre du multiplicande dans la troisième ligne. On multiplie le premier chiffre le plus à gauche du multiplicande par le multiplicateur. Le produit est placé dans la ligne médiane, sous le chiffre du multiplicande. On supprime alors le premier chiffre du multiplicande, on décale le multiplicateur vers la droite et on multiplie le second chiffre du multiplicande par ce multiplicateur, le résultat vient s'ajouter au nombre situé dans la ligne médiane et ainsi de suite.
La division procède selon le même principe. Le dividende est inscrit dans la ligne médiane. Le diviseur se place successivement le plus à gauche possible sous la ligne du dividende. On opère la division de la partie gauche du dividende par le diviseur, le quotient (chiffre de 1 à 9) est placé dans la ligne supérieure , au-dessus du chiffre des unités du diviseur, la partie du dividende est remplacée par le reste de la division. On décale alors le diviseur vers la droite pour recommencer l'opération.
La multiplication de nombres fractionnaires commence par la transformation des nombres a(forme mixte) en (forme impropre), puis on multiplie entre eux les numérateurs, et entre eux les dénominateurs et on effectue une division classique.
La division des fractions commence par leur transformation de mixtes en impropres, une réduction au même dénominateur et une division d'un numérateur par l'autre. Liu Hui propose une réduction des deux dernières étapes : div =
vignette|Multiplication :38 × 76=2888vignette|centré|Division : =44vignette|Multiplication de fractions : 3× 5=18
Extraction de racines Racine carrée