En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point par rapport à un cercle de centre et de rayon est un nombre qui indique la position de par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme .

Il existe plusieurs résultats pour différentes formules de calcul de la puissance d'un point, selon la position du point par rapport au cercle. Ils reposent tous sur la construction de droites sécantes au cercle, passant par le point.

La puissance d'un point apparait dans la construction de plusieurs objets géométriques et la démonstration de leurs propriétés, comme l'axe radical de deux cercles, le centre radical de trois cercles ou la construction d'un diagramme de Laguerre.

Le mathématicien Edmond Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à toute courbe algébrique.

Propriété fondamentale et définition

Signe de la puissance On peut remarquer que : si est à l’extérieur du cercle, ; si est à l’intérieur du cercle, .

Lorsque le point est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant le point de contact du cercle avec une de ces tangentes, la puissance de est (théorème de Pythagore).

L'égalité est suffisante pour affirmer que la droite est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si , , , sont quatre points tels que et se coupent en et si , alors les quatre points sont cocycliques.

Point de vue algébrique Dans un repère orthonormé, le cercle de centre et de rayon a pour équation cartésienne , qu'on peut réécrire sous la forme avec ; alors la puissance du point par rapport à ce cercle est .

Applications Axe radical de deux cercles L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.

On considère deux cercles et avec et distincts. L'ensemble des points de mêmes puissances par rapport aux deux cercles vérifie :

Soit le milieu de et la projection orthogonale de sur . D'après le troisième théorème de la médiane dans le triangle , on a : . Tous ces points ont le même projeté orthogonal sur la droite , et la formule obtenue ci-dessus permet de construire ce projeté . L'axe radical est donc la droite perpendiculaire à la ligne des centres et passant par .

Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

L'axe radical (éventuellement en dehors du segment intérieur aux deux cercles) est aussi l'ensemble des points desquels on peut mener, aux deux cercles, des segments tangents de même longueur.

En particulier si les cercles sont extérieurs et admettent une tangente commune , le milieu de appartient à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical.

D'un point de vue analytique, si les deux cercles ont pour équations et , les points ayant même puissance par rapport aux deux cercles sont ceux pour lesquels , ce qui équivaut à , avec ; on retrouve bien l'équation de l'axe radical.

Centre radical de trois cercles Les axes radicaux de trois cercles de centres non alignés concourent en un point appelé centre radical des trois cercles (voir aussi : cercle orthogonal à trois cercles).

On en déduit, par exemple, que si trois cercles sont tangents deux à deux, leurs tangentes communes sont concourantes, et leur centre radical est alors le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les trois points de tangence.

Extensions Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à une courbe algébrique de degré comme le produit des distances entre et les points d'intersection d'un cercle passant par avec la courbe, divisé par le rayon du cercle élevé à la puissance . Il a également démontré que cette valeur est indépendante du rayon, page 20, p.113. Il lie en outre cette puissance à l'équation de la courbe plane sous forme , en remarquant que la puissance du point est égale, à une constante multiplicative près, à .

Références

Voir aussi

Articles connexes Cercle Cercles orthogonaux Faisceau de cercles Jakob Steiner Livre III des Éléments d'Euclide Théorème tangente-sécante Théorème des cordes sécantes Théorème des sécantes au cercle

Liens externes « Avec GéoPlan » : la géométrie du cercle « Avec Cabri » : puissance d'un point par rapport à un cercle

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