En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire entre deux espaces vectoriels est l'application entre leurs duals définie par :
ou encore, si est le crochet de dualité de :
La forme linéaire résultante est nommée application transposée de le long de .
Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encoreEn posant (λμ)y* = y*.(μ.λ) où (μ, y*) ↦ μy* est l'action de K sur F*, (μ, y*) ↦ y*.μ est l'action de K sur F*, (λ, μ) ↦ λμ est le produit dans K, (λ, μ) ↦ μ.λ est le produit dans K, etc. un module à droite sur l'anneau opposé K.
Propriétés
L'application u ainsi associée à u est, comme elle, linéaire. L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaireÀ prendre au sens « ℤ-linéaire », i.e. morphisme de groupes abéliens, si l'anneau n'est pas commutatif., de L(E, F) dans L(F*, E*). (donc est injective si et seulement si est surjective) et (donc est surjective si et seulement si est injective). L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G,(Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.) Pour toutes parties A de E et B de F, on a [u(A)] = (u)(A), et u(A) ⊂ B ⇒ u(B) ⊂ A. Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatifCeci reste vrai pour des K-modules à droite libres de type fini sur un anneau K non nécessairement commutatif, la transposée d'une matrice à coefficients dans K étant alors une matrice à coefficients dans K., de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C :En effet, si B = (e, …, e) et C = (f, …, f), l'élément d'indices i,k de la matrice mat(u) est 〈u(f*), e〉 et l'élément d'indices k,i de la matrice mat(u) est 〈f*, u(e)〉. Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule (AB) = B.A.
Application transposée en général La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application entre deux ensembles :
.
On en déduit pour tout ensemble une application :
définie par où désigne l'ensemble des applications de dans .
Si , et sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire
où cette fois désigne l'ensemble des morphismes de groupes de dans .
On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espaces topologiques, d'espaces vectoriels topologiques
Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories.
Si est une catégorie , sont des objets de et est un élément de . Alors pour tout objet de , il existe une application appelée transposée de :
.
C'est l'image de par le foncteur Hom contravariant de dans la catégorie des ensembles.
Notes
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Catégorie:Algèbre bilinéaire