Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation. La notion de polyèdre uniforme est généralisée, pour un nombre de dimensions quelconque, par celle de .
Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi réguliers ou semi-réguliers. Les polyèdres n'ont pas besoin d'être convexes, si bien que beaucoup de polyèdres uniformes sont étoilés.
En excluant les deux ensembles infinis des prismes et antiprismes uniformes (incluant les convexes et les étoilés), il existe 75 polyèdres uniformes (ou 76 si les arêtes sont autorisées à coïncider), à savoir : les polyèdres uniformes convexes : les 5 solides de Platon (réguliers), les 13 solides d'Archimède (2 quasi réguliers et 11 semi-réguliers) ; les polyèdres uniformes étoilés : les 4 réguliers : solides de Kepler-Poinsot, les 53 non réguliers : 14 à faces convexes et 39 à faces non convexes, 1 polyèdre avec les paires d'arêtes qui coïncident, trouvé par .
Ils peuvent aussi être regroupés par groupe de symétrie, comme dans la classification donnée par le logiciel Mathematica.
Histoire Les solides de Platon sont connus depuis l'Antiquité par les Grecs classiques et ont été étudiés par Platon, Théétète et Euclide. Johannes Kepler (1571-1630) est le premier à publier la liste complète des solides d'Archimède, après la perte du travail original d'Archimède. Kepler (1619) découvre deux des solides de Kepler-Poinsot réguliers et Louis Poinsot (1809) découvre les deux autres. Des 66 restant, 37 sont découverts par Albert Badoureau (1881). (1878) en découvre deux supplémentaires et Pitsch (1881) en découvre 18 indépendamment, dont 15 nouveaux. Coxeter découvre les 12 restants en collaboration avec (1930-1932), sans publier ses travaux. et H.C. Longuet-Higgins en découvrent indépendamment 11 d'entre eux. publient la liste des polyèdres uniformes et conjecture que la liste est complète. démontre leur conjecture en établissant que la liste est complète. En 1974, publie (patrons de polyèdres), dans lequel il donne la première liste entière publiée des 75 polyèdres uniformes non prismatiques, dont beaucoup, auparavant sans nom publié, avaient été baptisés par Norman Johnson. En 1975, John Skilling prouve indépendamment la complétude de cette liste, et montre que si la définition du polyèdre uniforme est assouplie pour autoriser la coïncidence des arêtes, alors seule une possibilité supplémentaire est offerte. En 1987, dessine tous les polyèdres uniformes et leurs duaux en 3D, au moyen du programme Polyca, écrit en Turbo Pascal : presque toutes ces représentations son montrées lors des congrès ISU de 1993, au Congress Theater, Eastbourne, Angleterre, et de 2005, au Kursaal à BesançonEdmond Bonan, Polyèdres Eastbourne 1993, Stéréo-Club Français, .. En 1993, Zvi Har'El produit une construction informatique complète des polyèdres uniformes et de leurs duaux via leurs constructions kaleïdoscopiques, en écrivant un programme informatique appelé Kaleido, et résumée dans un article intitulé Uniform Solution for Uniform Polyhedra., comptant les solides 1-80. En 1993 également, R. Mäder implémente le programme Kaleido dans Mathematica, avec un système d'indexation légèrement différent.
Indexation Il existe quatre tentatives majeures d'indexation élaborées à partir des travaux ci-dessus. Pour les distinguer, différentes lettres d'indexation sont utilisées. La lettre C pour la première énumération de Coxeter en 1954, W pour celle publiée par Wenninger dans son livre de 1974 sur les patrons de polyèdres, K pour la construction Kaleido de 1993, et U pour la construction utilisée par le logiciel Mathematica et reproduite extensivement ailleurs.
[C] 1954 : dans son article, Coxeter liste les polyèdres uniformes de 15 à 92. Les indices de 15 à 32 sont utilisés pour désigner les polyèdres convexes, ceux de 33 à 35 pour les trois ensembles prismatiques infinis et ceux de 36 à 92 pour les polyèdres non convexes. [W] 1974 : dans son livre Polyhedron model, Wenninger énumère les solides de 1 à 119 : 1 à 5 pour les solides de Platon, 6 à 18 pour les solides d'Archimède, 19 à 66 pour les formes étoilées incluant les 4 polyèdres réguliers non convexes et 67 à 119 pour les polyèdres uniformes non convexes. [K] 1993 Kaleido : les 80 solides construits à l'aide de Kaleido sont regroupés par symétrie, énumérés de 1 à 80 : 1 à 5 pour les familles infinies de polyèdres prismatiques avec symétrie diédrale, 6 à 9 pour la , 10 à 26 pour la symétrie octaédrique et 46 à 80 pour la symétrie icosaédrique. [U] 1993 Mathematica : cette indexation donnée par Mathematica suit celle de Kaleido, mais déplace les 5 formes prismatiques vers la fin, en indexant les polyèdres non prismatiques de 1 à 75.
Formes convexes et configurations de sommet fondamentales
Les polyèdres uniformes convexes peuvent être nommés par les opérations de construction de Wythoff sur une forme parent.
Note : les font partie d'un ensemble infini de polyèdres à deux côtés (2 polygones identiques) qui engendre les prismes comme formes tronquées.
Chacune de ces formes convexes définit un ensemble de sommets qui peut être identifié pour les formes non convexes dans la prochaine section.
ParentTronquéRectifiéBitronqué(dual tronqué)Birectifié(dual)BiseautéOmnitronqué(Rectifié-tronqué)AdouciSymbole de SchläfliÉtendut0{p,q}t0,1{p,q}t1{p,q}t1,2{p,q}t2{p,q}t0,2{p,q}t0,1,2{p,q}s{p,q}Symbole de Wythoffp-q-2 q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2Diagramme de Coxeter-Dynkin(variations)Fichier:CDW ring.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW dot.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW ring.svgFichier:CDW hole.svgFichier:CDW p.svgFichier:CDW hole.svgFichier:CDW q.svgFichier:CDW hole.svg(o)-p-o-q-o(o)-p-(o)-q-oo-p-(o)-q-oo-p-(o)-q-(o)o-p-o-q-(o)(o)-p-o-q-(o)(o)-p-(o)-q-(o)( )-p-( )-q-( )xPoQoxPxQooPxQooPxQxoPoQxxPoQxxPxQxsPsQs[p,q]:001[p,q]:011[p,q]:010[p,q]:110[p,q]:100[p,q]:101[p,q]:111[p,q]:111sConfiguration de sommetpq(q.2p.2p)(p.q.p.q)(p.2q.2q)qp(p.4.q.4)(4.2p.2q)(3.3.p.3.q)Tétraédrique3-3-264px{3,3}64px(3.6.6)64px(3.3.3.3)64px(3.6.6)64px{3,3} 64px(3.4.3.4)64px(4.6.6)64px(3.3.3.3.3)Octaédrique4-3-264px{4,3}64px(3.8.8)64px(3.4.3.4)64px(4.6.6)64px{3,4}64px(3.4.4.4)64px(4.6.8)64px(3.3.3.3.4)Icosaédrique5-3-264px{5,3}64px(3.10.10)64px(3.5.3.5)64px(5.6.6)64px{3,5}64px(3.4.5.4)64px(4.6.10)64px(3.3.3.3.5)Diédriquep-2-2Exemple p=5 {5,2} 2.10.10 2.5.2.5 64px4.4.5 {2,5} 2.4.5.4 64px4.4.10 64px3.3.3.5
Définition des opérations 320px
OpérationÉtenduSymbolesde SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinDescription Parent t0{p,q} 9px7px5px7px5px Polyèdre régulier quelconque ou pavage Rectifié t1{p,q} 5px7px9px7px5pxLes arêtes sont pleinement tronquées en points uniques. Le polyèdre possède alors les faces combinées du polyèdre parent et du dual.BirectifiéDual t2{p,q} 5px7px5px7px9px100px|rightLe birectifié (dual) est une troncature plus poussée c’est-à-dire que les faces originelles sont réduites à des points. Les nouvelles faces sont formées sous chaque sommet du polyèdre parent. Le nombre d'arêtes est inchangé et est tourné de 90 degrés. Le dual d'un polyèdre régulier {p, q} est aussi un polyèdre régulier {q, p}.Tronqué t0,1{p,q} 9px7px9px7px5pxChaque sommet originel est tronqué, créant ainsi une nouvelle face. Cette troncature possède un degré de liberté dont une solution donne un polyèdre uniforme. Le polyèdre a ses faces originales doublées par côtés, et contient les faces du dual.400pxBitronqué t1,2{p,q} 5px7px9px7px9pxIdentique au dual tronqué. Biseauté(ou rhombé)(développé) t0,2{p,q} 9px7px5px7px9pxEn ajout à la troncature des sommets, chaque arête originale est rabotée faisant apparaître à la place de nouvelles faces rectangulaires. Un biseautage uniforme se trouve à mi-chemin entre le parent et les formes duales.400pxOmnitroncature(ou rectification-troncature) t0,1,2{p,q} 9px7px9px7px9pxLes opérations de troncature et de rectification sont appliquées ensemble, créant une forme omnitronquée qui a les faces du parent doublées sur les côtés, les faces du dual doublées sur les côtés et des carrés où les arêtes originales existaient.Adouci s{p,q} 9px7px9px7px9pxL'adoucissement prend la forme omnitronquée et rectifie les sommets alternativement (cette opération est seulement possible pour les polyèdres avec toutes les faces sur les côtés paires). Toutes les faces originales finissent avec la moitié des côtés, et le carré dégénère en arêtes. Puisque les formes omnitronquées ont 3 faces/sommet, de nouveaux triangles sont formés.400px
Formes non convexes listées par groupes de symétrie et par configurations de sommet
Tous les polyèdres uniformes sont listés ci-dessous par leurs groupes de symétrie et sous-groupés par leurs arrangements de sommet (configurations de sommet).
Les polyèdres réguliers sont marqués par leurs symboles de Schläfli. Les autres polyèdres uniformes, non réguliers, sont listés par leurs configurations de sommet ou par leurs indices des polyèdres uniformes U(1-80).
Note : Pour les formes non convexes, un descripteur supplémentaire, « non uniforme », est utilisé lorsque l'enveloppe convexe de l'arrangement de sommet possède la même topologie que l'un d'entre eux, mais possède des faces non régulières. Par exemple, une forme biseautée non uniforme peut avoir des rectangles créés à la place d'arêtes plutôt que des carrés.
Symétrie tétraédrique
Il existe deux polyèdres uniformes convexes, le tétraèdre et le tétraèdre tronqué, et une forme non convexe, le tétrahémihexaèdre qui possède une . Le tétraèdre est un polyèdre autodual.
En plus, l'octaèdre, l'octaèdre tronqué, le cuboctaèdre et l'icosaèdre ont une symétrie tétraédrique de même qu'une symétrie plus élevée. Ils sont ajoutés pour l'exhaustivité ci-dessous, bien que leurs formes non convexes avec la symétrie octaédrique ne soient pas incluses ici.
Groupe de sommetConvexeNon convexe(Tétraèdre) {3,3}Tronqué (*) 64px(3.6.6)Rectifié (*) 64px{3,4} (4.3/2.4.3)Biseauté (*) 64px(3.4.3.4)Omnitronqué (*) 64px(4.6.6)Adouci (*) 64px{3,5}
Symétrie octaédrique
Il existe 8 formes convexes et 10 formes non convexes avec la symétrie octaédrique.
Groupe de sommetConvexeNon convexe(Octaédrique){3,4}Tronqué (*) 64px(4.6.6)Rectifié (*) (3.4.3.4) (6.4/3.6.4) (6.3/2.6.3)Dual tronqué (*) 64px(3.8.8) 64px(4.8/3.4/3.8/5) 64px(8/3.3.8/3.4) 64px(4.3/2.4.4)Dual (*){4,3}Biseauté (*) 64px(3.4.4.4) 64px(4.8.4/3.8) 64px(8.3/2.8.4) 64px(8/3.8/3.3)Omnitronqué (*) 64px(4.6.8)Omnitronqué non uniforme (*) (4.6.8) 64px(8/3.4.6) 64px(8/3.6.8)Adouci (*) 64px(3.3.3.3.4)
Symétrie icosaédrique
Il existe 8 formes convexes et 46 formes non convexes ayant la symétrie icosaédrique (ou 47 formes non convexes si le polyèdre de Skilling est inclus). Certaines formes adoucies non convexes ont une symétrie chirale non uniforme, et certaines ont une symétrie achirale.
Il existe beaucoup de formes non uniformes de degrés variés de troncature et de biseautage.