vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.

La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes.

La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de symétrie.. Un groupe de symétrie décrit les symétries d'une forme géométrique : il consiste en un ensemble de transformations géométriques qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à composer de telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les groupes de Lie continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences, .. Ces derniers, par exemple, sont les groupes de symétries utilisés dans le modèle standard de la physique des particules. Les groupes généraux linéaires sont, quant à eux, utilisés en physique fondamentale, afin de comprendre les lois de la relativité restreinte et les phénomènes liés à la symétrie des molécules en chimie.

Le concept de groupe fit son apparition dans l'étude des équations polynomiales. En effet, c'est Évariste Galois qui, durant les années 1830, utilisa pour la première fois le terme « groupe » dans un sens technique similaire à ce qui est utilisé de nos jours, faisant de lui un des fondateurs de la théorie des groupes. À la suite de contributions d'autres domaines des mathématiques, comme la théorie des nombres et la géométrie, la notion de groupe fut généralisée et plus fermement établie autour des années 1870.

La théorie des groupes moderne, une branche des mathématiques toujours active, se concentre donc sur la structure de groupes abstraits, indépendamment de leur utilisation extra-mathématiquePour l'année 2005, le journal Mathematical Reviews a répertorié articles de recherche portant sur la théorie des groupes et ses généralisations.. Ce faisant, les mathématiciens ont défini, au fil des années, plusieurs notions permettant de fragmenter des groupes en des objets plus petits et plus compréhensibles ; les sous-groupes, groupes quotients, sous-groupes normaux et les groupes simples en sont quelques exemples. En plus d'étudier ces types de structures, les théoriciens de groupes s'intéressent aussi aux différentes façons dont un groupe peut être exprimé concrètement, autant du point du vue de la théorie des représentations que du point de vue computationnel. La théorie des groupes finis fut développée avec, comme point culminant, la classification des groupes finis simples, achevée en 2004La classification complète fut annoncée en 1983, mais quelques lacunes furent identifiées dans la preuve. Pour plus d'informations, voir la classification des groupes simples finis.. Depuis le milieu des années 1980, la théorie géométrique des groupes, qui s'intéresse aux groupes de type fini en tant qu'objets géométriques, est devenue un champ particulièrement actif de la théorie des groupes.

Définition et illustration Premier exemple : les entiers relatifs Un des groupes les plus communs est l'ensemble des entiers relatifs ℤ muni de l'addition. L'ensemble ℤ est constitué des nombres

Les propriétés suivantes de l'addition usuelle servent de modèle pour les axiomes de la définition générale donnée plus bas. Pour deux entiers quelconques et , la somme est aussi un entier. En d'autres termes, le fait d'additionner deux entiers ne peut jamais mener à un résultat non entier. On dit que l'addition est une loi de composition interne. Pour tous entiers et ,. Littéralement, additionner d'abord a et b, puis ajouter c au résultat donne le même résultat final qu'ajouter a à la somme de b et c. Cette propriété est nommée associativité. Si a est un entier, alors . Zéro est ce qu'on appelle un élément neutre pour l'addition, parce qu'ajouter 0 à tout entier donne cet entier. Pour tout entier a, il existe un entier b tel que . L'entier b est appelé l'élément symétrique de l'entier a et est noté (pour l'addition, on dit aussi opposé).

Définition Les entiers relatifs, munis de l'opération « + », forment un objet mathématique qui appartient à une vaste classe d'objets partageant des similarités de structure. La définition formelle suivante, qui englobe l'exemple précédent et beaucoup d'autres, dont les groupes de symétries détaillés plus bas, permet de comprendre ces structures sans traiter chaque cas séparément.

Un groupe est un couple (G, • ) dont le premier terme est un ensemble G et le second une opération « • » (on dit aussi loi de composition) sur cet ensemble qui, à deux éléments a et b de G, associe un autre élément . Le symbole « • » est un signe général qui désigne une opération donnée, comme l'addition ci-dessus. On exige que la loi satisfasse quatre propriétés : les axiomes de groupeVoir par exemple, parmi de nombreux manuels d'enseignement et avec des différences de présentation minimes ou .. Loi de composition interne Pour tous a et b éléments de G, le résultat a • b est aussi dans G. Associativité Pour tous éléments a, b et c de G, l'égalité (a • b) • c = a • (b • c) est vraie. Élément neutre Il existe un élément e de G tel que, pour tout a dans G, , "e" est appelé élément neutre du groupe (G, •). Symétrique Pour tout élément a de G, il existe b dans G tel que a • b = b • a = e, où e est l'élément neutre. b est appelé symétrique de a.

L'ordre des arguments peut ne pas être indifférent, autrement dit l'égalité :

n'est pas toujours vraie. Un groupe dans lequel on a toujours est dit commutatif, ou abélien (en l'honneur de Niels Abel). Ainsi, le groupe additif des nombres entiers relatifs est abélien mais le groupe de symétrie décrit ci-dessous ne l'est pas.

Remarque sur le vocabulaire Lorsque la loi est notée additivement (c'est-à-dire que l'on note a + b pour a • b) : le symétrique est appelé opposé et l'opposé de a est noté −a ; le neutre est souvent appelé zéro et noté 0. Lorsque la loi est notée multiplicativement (c'est-à-dire que l'on note ab pour a • b) : le symétrique est appelé inverse et l'inverse de a est noté a−1 ; le neutre est parfois appelé unité et noté 1. En pratique, on limite l'utilisation de la notation additive aux groupes abéliens.

Deuxième exemple : un groupe de symétrie Les symétries (c'est-à-dire les rotations et réflexions) d'un carré munies de la composition forment un groupe appelé groupe diédral et noté D4 ou D8, selon les auteurs. Pour des raisons indiquées dans l'article Groupe diédral, on adoptera ici la notation D8. Voici la liste des éléments de ce groupe : 140px id (identité : chaque point est conservé) 140px r1 (rotation de 90° vers la droite) 140px r2 (rotation de 180°) 140px r3 (rotation de 270° vers la droite) 140px fv (retournement vertical) 140px fh (retournement horizontal) 140px fd (retournement suivant la première diagonale) 140px fc (retournement suivant la deuxième diagonale) Les éléments du groupe de symétrie (D8). Les sommets sont colorés et numérotés uniquement pour visualiser les transformations. l'application identité, laissant tout inchangé, est notée id ; les rotations de 90° , 180° et 270° vers la droite, notées respectivement r1, r2 et r3. Le centre de toutes ces rotations est le point d'intersection des diagonales du carré ; les réflexions ayant pour axes les médiatrices des côtés du carré (fh et fv) ou ses diagonales (fd et fc).

Deux symétries quelconques peuvent être composées, c'est-à-dire appliquées l'une après l'autre. Le résultat obtenu en exerçant a puis b est écrit symboliquement ( L'écriture de droite à gauche utilisée ici provient de la composition de fonctions.)

Le groupe D8 est décrit par la table de Cayley ci-contre. Il s'agit d'un tableau analogue aux tables de multiplications des écoliers. Ainsi, à l'intersection de la ligne fh et de la colonne r3 se trouve fd (case coloriée en bleu). Cela signifie que fh • r3 fd. Autrement dit, appliquer au carré une rotation d'angle 270° vers la droite (r3) puis un retournement horizontal (fh) revient à lui appliquer un retournement suivant la première diagonale (fd).

+ Table de Cayley de D8 • id r1 r2 r3 fv fh fd fc id id r1 r2 r3 fv fh fd fc r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv fv fv fd fh fc id r2 r1 r3 fh fh fc fv fd r2 id r3 r1 fd fd fh fc fv r3 r1 id r2 fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id Les éléments id, r1, r2, et r3 forment un sous-groupe, colorié en rouge (en haut à gauche). Deux classes à gauche et à droite suivant ce sous-groupe sont en vert (dernière ligne) et jaune (dernière colonne), respectivement.

Étant donnés cet ensemble de symétrie et l'opération décrite ci-dessus, les axiomes de groupes peuvent être compris ainsi : L'opération doit être une loi de composition interne : pour toutes symétries a et b, doit être aussi une symétrie du carré. Par exemple c'est-à-dire que faire pivoter le carré de 270° vers la droite après l'avoir retourné horizontalement revient à l'avoir retourné suivant la deuxième diagonale (fc). Toutes les combinaisons de deux symétries donnent une symétrie, comme l'atteste la table de Cayley ci-contre. L'hypothèse d'associativité traite de la composition de plus de deux symétries : soient trois éléments a, b et c de D8, il existe deux façons de calculer « a puis b puis c ». La condition

signifie que la composition de trois éléments est indépendante de l'ordre de priorité des opérations. Cela peut aussi être vérifié en examinant la table de Cayley ci-contre. Par exemple, on peut remarquer que

est égal à

L'élément neutre est la symétrie notée id, qui laisse tout invariant. Quelle que soit la symétrie a, composer a et id revient à appliquer a : , . Un élément symétrique est la transformation réciproque d'une symétrie donnée. Chaque symétrie peut être « défaite ». Chacune des transformations id, fh, fv, fd, fc et la rotation à 180° r2 est son propre symétrique, ce qui revient à dire qu'appliquer deux fois une de ces transformations revient à laisser le carré invariant. Les rotations r3 et r1 sont symétriques l'une de l'autre. Formellement, on écrit : ,

Au contraire du groupe des entiers déjà cité, l'ordre dans lequel sont effectuées les opérations est important, dans D8 : mais . On dit que D8 n'est pas commutatif. On voit ici que la structure de groupe est plus délicate que le premier exemple sur les entiers pouvait le laisser supposer.

Histoire Le concept moderne et abstrait de groupe se développa à travers différents champs des mathématiques.

La motivation originelle de la théorie des groupes vient de la recherche des solutions des équations polynomiales de degré supérieur à quatre. Au , le mathématicien français Évariste Galois, développant des travaux précédents de Paolo Ruffini et Joseph-Louis Lagrange, donna un critère de résolubilité d'équations polynomiales particulières en termes de groupe de symétrie de leurs racines.. Les éléments d'un tel groupe (appelé groupe de Galois) correspondent à certaines permutations des racines. Les idées de Galois furent méconnues par ses contemporains et publiées seulement à titre posthume (1846). Des groupes de permutations plus généraux furent étudiés par Augustin Louis Cauchy (1815). Arthur Cayley, dans un article de 1854, donna la première définition abstraite d'un groupe fini.