right|thumb|alt=Triangle dont l'intérieur est bleu clair et les côtés d'un bleu plus foncé.|Un triangle. En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane formée par trois points (appelés sommets) et par les trois segments qui les relient (appelés côtés), délimitant un domaine du plan appelé intérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un angle intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ».
Le triangle est aussi le polygone le plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation de surfaces.
De nombreuses constructions géométriques de points, droites et cercles associés à un triangle sont liées par des propriétés qui étaient en bonne part déjà énoncées dans les Éléments d'Euclide, près de avant Jésus-Christ. Les relations entre les mesures des angles et les longueurs des côtés sont notamment à l'origine de techniques de calcul de distances par triangulation. Le développement de ces techniques constitue d'ailleurs une branche des mathématiques appelée trigonométrie.
vignette|Un triangle équilatéral sphérique trirectangle.|alt=Représentation d'un triangle sphérique trirectangle. Hors de la géométrie euclidienne, les côtés d'un triangle sont remplacés par des arcs géodésiques et beaucoup de ses propriétés sont modifiées (voir Trigonométrie sphérique).
La forme triangulaire se retrouve dans de nombreux objets, mathématiques ou non, et s'est chargée de symboliques diverses. De nombreux caractères typographiques présentent une telle forme.
Description Notations thumb|left|alt=Triangle ABC avec les notations AB = c, AC = b et BC = a, les angles en A, B et C étant respectivement notés α, β et γ.|Notations usuelles pour un triangle ABC.
Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ses trois sommets et il se note en général en juxtaposant les trois lettres (a priori capitales) qui les désignent. L'ordre de ces lettres importe peu même si l'ordre d'énonciation correspond souvent à un parcours dans le sens trigonométrique autour du triangle.. La longueur d'un côté est classiquement notée avec la lettre minuscule correspondant au sommet opposé.
Si tous les sommets sont distinctsDans le cas où deux sommets sont confondus, la direction du côté qui les relie n'est pas définie et les angles adjacents non plus., chaque angle géométrique peut être identifié par la lettre du sommet correspondant, surmontée d'un accent circonflexe. Au cas où la figure comprend d'autres segments passant par les sommets, les côtés de l'angle sont précisés par les lettres désignant les deux autres sommets de part et d'autre sous l'accent circonflexe. Ces angles peuvent aussi être notés à l'aide de lettres grecques en minuscule et en italique.
Premières propriétés Inégalité triangulaire
La propriété euclidienne selon laquelle « la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre » s'illustre par le fait que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés :
Les cas d'égalité caractérisent les triangles plats, dans lesquels l'un des sommets appartient au segment qui relie les deux autres.
Réciproquement, si on donne trois longueurs (données par trois nombres réels positifs) dont aucune n'est supérieure à la somme des deux autres, il est possible de construire un triangle ayant ces longueurs de côté. La vérification de ces inégalités peut être faite en comparant seulement la plus grande des trois longueurs avec la somme des deux autres, car les deux autres inégalités sont nécessairement vraies.
Il suffit alors de construire d'abord un segment d'une des trois longueurs souhaitées, puis de tracer deux cercles centrés sur les extrémités de ce segment avec pour rayon chacune des deux autres longueurs. Les deux cercles ont alors deux points d'intersection et n'importe lequel de ces deux points définit le triangle de dimensions voulues avec le segment initial.
Somme des angles right|thumb|La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.
La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat, autrement dit la somme de leurs mesures vaut 180° (degrés) c'est-à-dire π radians. Cette propriété est une caractéristique de la géométrie euclidienne. Il existe d'autres géométries, dites géométries non euclidiennes, dans lesquelles la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° (on parle alors de géométrie elliptique), ou, au contraire, inférieure (la géométrie est alors dite géométrie hyperbolique).
Réciproquement, si l'on donne trois mesures (non nulles) d'angles géométriques dont la somme vaut un angle plat, il existe un triangle ayant ces mesures d'angles. Il suffit de tracer un segment d'une longueur quelconque et de tracer une demi-droite en chaque extrémité mais du même côté du segment, de façon à former deux des angles voulus avec le segment initial. Les deux demi-droites auront un point d'intersection en lequel l'angle intérieur sera le troisième angle voulu.
Cas particuliers
Un triangle dans lequel au moins deux sommets sont confondus est dit dégénéré (ou parfois ).
Un triangle plat ou aplati, est un triangle dont les sommets sont alignés.
Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés de même longueur. Les deux angles adjacents au troisième côté sont alors de même mesure. Réciproquement, tout triangle ayant deux angles de même mesure est isocèle. Les triangles isocèles sont les seuls à admettre un axe de symétrie en dehors des triangles plats.
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles ont alors la même mesure qui vaut donc 60° et il admet trois axes de symétrie.
Un triangle qui n'est ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral) ni plat est dit scalène (du grec σκαληνός (skalenos) : boiteux, inégal, déséquilibré, oblique…). Un triangle scalène peut aussi être rectangle. Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit, c'est-à-dire de mesure 90°. Il satisfait alors le théorème de Pythagore. Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il ne peut y avoir plus d'un angle obtus (supérieur à l'angle droit). S'il y en a un, le triangle est obtusangle ou ambligone. S'il n'y en a pas, il est acutangle ou oxygone (il a alors trois angles aigus).
vignette|Pour que le triangle soit « quelconque » le point doit se trouver dans une des zones ouvertes situées entre les droites et et en dehors du disque de diamètre . Un triangle quelconque est à priori un triangle qui peut posséder ou non des propriétés des triangles particuliers, mais l'adjectif « quelconque » est employé pour insister sur le fait qu'on ne sait rien de plus à propos du triangle. En pratique, on considère comme « quelconque » un triangle acutangle qui n'est ni isocèle ni rectangle.
Certains triangles ont reçu une dénomination particulière qui détermine leurs angles : le demi-carré est un triangle isocèle rectangle, qui peut s'obtenir en reliant trois sommets d'un carré ; le triangle des arpenteurs ou triangle « 3-4-5 » est un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs 3, 4 et 5 en fonction d'une unité fixée (voir la corde à treize nœuds) ; le triangle de l'écolier ou triangle hémi-équilatéral est un triangle rectangle dont les mesures des angles sont de 30°, 60° et 90° ou dont l'un des côtés de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse ; il est appelé ainsi car il sert de modèle pour les équerres utilisée dans l'enseignement de la géométrieLes angles 30° et 60° ont été choisis car ils sont très utilisés en dessin technique, lorsque l'on fait des hachures ou des perspectives axonométriques ou isométriques. (il existe aussi des équerres en demi-carré) ; le triangle d'or est un triangle isocèle dont les angles à la base valent deux cinquièmes de l'angle plat, soit 72° ; le triangle d'argent ou gnomon d'or est un autre triangle isocèle, fortement lié au précédent, dont les angles à la base valent un cinquième de l'angle plat, soit 36° ; le triangle heptagonal est un triangle dont les angles sont dans des rapports 4:2:1 ; le triangle de Kepler est un triangle rectangle dont les carrés des longueurs des côtés sont en progression géométrique selon la raison du nombre d'or.
Un triangle est dit bisocèle si l'une de ses bissectrices le partage en deux triangles isocèles. Il ne peut s'agir que du demi-carré ou du triangle d'orVoir la démonstration sur la page triangle au collège..
Le tableau suivant compare quelques-uns de ces triangles particuliers :
Triangle Côtés Angles Équilatéral Les longueurs des trois côtés sont égales Les angles sont de 60° Isocèle Les longueurs de deux côtés sont égales Les angles adjacents à la base sont égaux Rectangle Un angle est droit et les deux autres sont inférieurs à 90° Isocèle rectangle Les longueurs de deux côtés sont égales Un angle est droit et les deux autres sont de 45° Obtusangle Un angle est supérieur à 90° et les deux autres sont inférieurs à 90° Acutangle Les trois angles sont inférieurs à 90°
Aire L'aire d'un triangle est donnée par diverses formules, la première étant fonction de la longueur d'un côté, appelée base, et de la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté, appelée hauteur.
Cette formule est dérivée de celle de l'aire d'un parallélogramme et démontrée dans les Éléments d'Euclide. Elle est connue depuis les anciens égyptiens, utilisée par exemple dans le problème R51 du papyrus Rhind, copie de connaissances de −2000.
D'autres formules font appel à la longueur des côtés (formule de Héron) ou aux coordonnées des sommets dans un repère orthonormé.
Périmètre Le périmètre d'un triangle est simplement la somme des trois longueurs de côté. Pour un périmètre p donné, l'aire intérieure du triangle est majorée par celle du triangle équilatéral correspondant :
Relations trigonométriques Les longueurs de côté d'un triangle et les mesures de ses angles vérifient plusieurs relations qui permettent de toutes les calculer à partir de certaines d'entre elles.
Il s'agit d'une part, outre la formule de la somme des angles, d'une relation entre l'aire, la mesure d'un angle et la longueur des deux côtés adjacents :
laquelle permet d'obtenir la formule des sinus : où est le rayon du cercle circonscrit ; d'autre part, du théorème d'Al-Kashi (ou encore loi des cosinus) qui généralise le théorème de Pythagore : .
Utilisations Triangulation Les relations métriques dans le triangle permettent d'évaluer des distances à partir de mesures angulaires, comme en navigation maritime, en géodésie et en astronomie. C'est selon ce principe qu'a été mesuré le méridien terrestre pour la définition du mètre.
Décomposition de surface thumb|Les trois polyèdres réguliers convexes à faces triangulaires. Dans le plan, le calcul de l'aire d'un domaine peut être évalué en approchant ce domaine par une réunion de triangles disjoints.
Plus généralement, des surfaces de l'espace peuvent être approchées par une réunion de triangles appelées facettes. Cette technique est utilisée en analyse numérique dans la méthode des éléments finis, mais aussi en imagerie numérique. L'analyse vectorielle permet d'ailleurs de calculer rapidement l'orientation d'une telle facette et d'en déduire la réflexion du rayonnement lumineux d'une source ponctuelle dans une direction donnée.
Plusieurs polyèdres (réguliers ou non) ont des faces triangulaires, comme le tétraèdre, l'octaèdre, l'icosaèdre et le grand icosaèdre. Les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux sont appelés deltaèdres.