En géométrie, les polyèdres obliques infinis sont une définition étendue des polyèdres, créés par des faces polygonales régulières, et des figures de sommet non planaires.
Beaucoup sont directement reliés aux , étant la surface polygonale d'un nid d'abeille avec certaines cellules enlevées. En tant que solides, ils sont appelés nids d'abeille partiels et aussi éponges.
Ces polyèdres sont aussi appelés pavages hyperboliques parce qu'ils peuvent être regardés comme reliés aux pavages de l'espace hyperbolique qui ont aussi un négatif.
Polyèdres obliques réguliers Selon Coxeter, John Flinders Petrie a généralisé en 1926 le concept de réguliers (polygones non planaires) aux polyèdres obliques réguliers.
Il existe 3 polyèdres obliques réguliers : {4,6|4} : 6 carrés sur un sommet (relié au pavage cubique, construit avec des cellules cubiques, en enlevant deux faces opposées sur chacune et en reliant tous les ensembles de six autour d'un cube sans face). {6,4|4} : 4 hexagones sur un sommet (relié au nid d'abeille cubique bitronqué, construit avec des octaèdres tronqués avec leurs faces carrées enlevées et reliant les paires de trous ensemble). {6,6|3} : 6 hexagones sur un sommet (relié au , construit avec des cellules tétraédrique tronquées, en enlevant les faces triangulaires, et en reliant les ensembles de quatre autour d'un tétraèdre sans face).
Leurs figures de sommet sont des polygones obliques, zigzaguant entre deux plans.
Voici quelques représentations partielles, des vues verticales projetées de leurs figures de sommet obliques et des nids d'abeille uniformes correspondant partiellement. 210px{4,6|4}210px{6,4|4}210px{6,6|3}210px210px210px210px4.4.4.4.4.4210px6.6.6.6210px6.6.6.6.6.6210pxpavage cubique210pxnid d'abeille cubique bitronqué210px
Polyèdres obliques réguliers prismatiques
Il existe aussi deux formes prismatiques régulières, disqualifiées par Coxeter (parmi d'autres) de l'appellation régulière parce qu'elles ont des faces coplanaires adjacentes.
5 carrés sur un sommet (deux pavages carrés parallèles connectés par des trous cubiques). 8 triangles sur un sommet (deux pavages triangulaires parallèles connectés par des trous octaédriques).
Au-delà de l'espace tridimensionnel euclidien, C. W. L. Garner a déterminé un ensemble de 32 polyèdres obliques réguliers dans un espace tridimensionnel hyperbolique, dérivé des quatre .
Polyèdres obliques semi-réguliers
Il existe beaucoup d'autres polyèdres obliques semi-réguliers (de sommet uniforme), découverts par A. F. Wells et John Richard Gott (il les ont appelés pseudopolyèdres) dans les années 60.
200pxUn polyèdre oblique prismatique semi-régulier avec une configuration de sommet 4.4.4.6200pxUn polyèdre oblique semi-régulier (partiel) avec une configuration de sommet 4.8.4.8. Relié au 200pxUn polyèdre oblique semi-régulier (partiel) avec une configuration de sommet 3.4.4.4.4. Relié au
Références
Coxeter, Regular Polytopes, éd., Dover, 1973 Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999 , chap. 5 : Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues H. S. M. Coxeter, « Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions », dans Proc. London Math. Soc., vol. 43, 1937, p. 33-62 C. W. L. Garner, « Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space », dans Canad. J. Math., vol. 19, 1967, p. 1179-1186
Liens externes
George Olshevsky, « Skew polytope » sur le site Glossary for Hyperspace "Hyperbolic" Tesselations Infinite Regular Polyhedra, Geometry Page Infinite Repeating Polyhedra - Partial Honeycombs in 3-Space 18 symmetry of polytopes and polyhedra, Egon Schulte: 18.3 Regular skew polyhedra
Catégorie:Polyèdre