Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.
Le cas hilbertien : l'espace (𝔻) Définition Soit une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité :
On dit alors que est dans l'espace de Hardy (𝔻) si la suite appartient à ℓ. Autrement dit, on a :
On définit alors la norme de par :
Exemple La fonction appartient à (𝔻), par convergence de la série (série de Riemann convergente).
Une autre expression de la norme
Pour holomorphe sur 𝔻 et pour , on définit :
la fonction est croissante sur . (𝔻) si et seulement si et l'on a :
Quelques propriétés de l'espace (𝔻) L'espace de Hardy (𝔻) est isométriquement isomorphe (en tant qu'espace vectoriel normé) à ℓ. C'est donc un espace de Hilbert.
Pour tout (𝔻) et pour tout dans 𝔻, on a :
Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation , de (𝔻) dans ℂ, est continue pour tout dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :
En fait, on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.
La topologie faible de la boule unité de (𝔻) coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.
Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.
Soit une suite d'éléments de (𝔻) qui converge en norme vers alors converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers . Soit une suite d'éléments de (𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.
Le cas général Définition Pour , on définit l'espace de Hardy (𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques sur le disque unité telles que :
On définit alors :
Quelques propriétés Pour , (𝔻) est un espace de Banach. Soit (𝔻) pour . Alors pour presque tout (au sens de la mesure de Lebesgue) :existe et l'application est une isométrie de (𝔻) sur le sous-espace de où : On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute (𝔻), on a :
Factorisation de Beurling
Bibliographie
Nikolaï Nikolski, Éléments d'analyse avancée T.1 - Espaces de Hardy, Belin, ,
Articles connexes Noyau de Poisson
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