En mathématiques, le théorème de projection orthogonale sur un convexe fermé est un résultat de minimisation de la distance dont le principal corollaire est l'existence d'un supplémentaire orthogonal, donc d'une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel fermé. Dans le cadre particulier d'un espace de Hilbert, il remplace avantageusement le théorème de Hahn-Banach. Il est en effet plus simple à démontrer et plus puissant dans ses conséquences.
Il possède de nombreuses applications, en analyse fonctionnelle, en algèbre linéaire, en théorie des jeux, pour la modélisation mathématiques des sciences économiques ou encore pour l'optimisation linéaire.
Énoncé du théorème Dans cet article, E désigne un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire un espace vectoriel sur R muni d'un produit scalaire, x désigne un vecteur et C un ensemble convexe complet non vide de E.
La version la plus générale du théorème est la suivante :
Dans le cas où l'espace E est de Hilbert, c'est-à-dire complet, supposer que C est complet équivaut à supposer qu'il est fermé. L'application P est parfois dénommée projecteur de meilleure approximation..
Elle possède de plus les propriétés suivantes :
Principaux corollaires Dans ce paragraphe, E désigne un espace de Hilbert réel. Supplémentaire orthogonal
Le théorème de projection est l'un des outils possibles pour prouver l'existence d'un supplémentaire orthogonal pour tout sous-espace vectoriel fermé d'un Hilbert (ou plus généralement, pour tout sous-espace vectoriel complet d'un espace préhilbertien), donc l'existence d'une projection orthogonale sur ce sous-espace. (Une autre approche pour prouver ce corollaire est d'utiliser simplement l'inégalité de Bessel.)
Ce corollaire est le principal ingrédient de preuve du théorème de représentation de Riesz. Joint à ce dernier, il permet de démontrer le théorème de Lax-Milgram, qui aide à la résolution de certaines équations aux dérivées partielles.
Ce corollaire permet également, dans le cadre particulier hilbertien, de démontrer une version simplifiée du théorème de Hahn Banach sans faire appel au lemme de Zorn.
Séparation des convexes
Il existe une autre forme du théorème de Hahn-Banach :
Ce résultat s'exprime encore sous la forme suivante :
Dans le cas de la dimension finie, une forme du théorème de la séparation ne nécessite plus le caractère fermé du convexe :
Autres applications
Ce théorème possède de multiples autres applications.
Il est utilisé en analyse fonctionnelle. Il peut donner lieu à des algorithmes programmables en dimension finie. Un exemple est donné par le théorème de Stampacchia.
En théorie des jeux, John von Neumann établit un théorème fondamental montrant l'existence de stratégies optimales pour les différents joueurs dans un contexte très général John von Neumann, « Zur Theorie der Gesellschaftsspiele », Mathematische Annalen, vol. 100, 1928, p. 295-320.. Ce résultat est une conséquence du théorème de projection dans le cadre d'un Hilbert. Il possède de nombreuses conséquences, dont l'une célèbre est l'existence d'un optimum de Pareto sous des hypothèses pas trop contraignantes en sciences économiquesLes textes sur ce sujet sont nombreux, par exemple : ..
Ce théorème est utilisé pour trouver des expressions équivalentes à l'existence de solutions de systèmes d'inéquations linéaires. (théorèmes de l'alternative).
Différentiabilité Dans ce paragraphe, E désigne un espace euclidien. La projection P admet alors des dérivées directionnelles en tout point x de C : si l'on note T(x) le cône tangent à C en x, on a
Cependant, en un point n'appartenant pas à C, P n'a pas nécessairement de dérivée directionnelle. On connait en effet des contre-exemples dus à Joseph Kruskal. avec E = R, puis à . avec E = R.
Contre-exemples +Hypothèses manquantes \ Résultat manquantExistenceUnicitéH est completPour et , n'a pas de projeté.Le résultat reste vrai.Norme dérivant d'un produit scalaire (hermitien)Pour muni de et , n'a pas de projeté.Pour et , a plusieurs projetés. convexeSoit positive, strictement croissante et de limite 1. Pour et , n'a pas de projeté.Pour et , a plusieurs projetés. ferméPour et , n'a pas de projeté.Le résultat reste vrai.
Notes et références Notes
Références
Articles connexes Théorème de Motzkin
Catégorie:Analyse convexe Catégorie:Géométrie convexe Catégorie:Algèbre bilinéaire Projection Convexe Fermé