La numération romaine est un système de numération additive utilisé par les anciens Romains.
Les nombres sont représentés à l'aide de symboles combinés entre eux, notamment par les signes , , , , , et , appelés chiffres romains, qui représentent respectivement les nombres 1, 5, 10, 50, 100, 500 et . Ces ne permettaient pas à leurs utilisateurs de faire des calculs, qui étaient effectués au moyen d'abaques.
Un nombre écrit en chiffres romains se lit de gauche à droite. En première approximation, sa valeur se détermine en faisant la somme des valeurs individuelles de chaque symbole, sauf quand l'un des symboles précède un symbole de valeur supérieure ; dans ce cas, on soustrait la valeur du premier symbole au deuxième.
Origine Contrairement à une idée reçue, les chiffres romains ne sont pas des sigles mais, comme l'attestent les chiffres d’autres langues et écritures de peuples italiques, des symboles bien précis ensuite confondus avec des lettres. Ainsi, en numération étrusque, qui a constitué l'un des apports des Étrusques aux Romains avec l'alphabet, on trouve des signes ressemblant à I, Λ, X, ⋔, 8 et ⊕ pour , , , , et .
La numération romaine serait la survivance d'une pratique antérieure à l'invention de l'écriture (et donc, à strictement parler, protohistorique) que l'on retrouve dans de nombreuses civilisationsPour l'ensemble de la question, voir par exemple ..
Ces chiffres seraient liés à la nécessité de faire figurer des repères sur un support, par exemple un bâton : un berger qui veut compter ses bêtes sans savoir énumérer prend simplement un bâton de comptage sur lequel figurent des encoches. Il fait ensuite passer son troupeau devant lui et décale son ongle d'une encoche à chaque fois qu'une bête passe devant lui ; la dernière des marques de dénombrement correspond au nombre de bêtes.
Avec ce système, les premiers chiffres sont toujours des encoches simples, ultérieurement transcrites par des « I ». Ils ne sont pas nécessairement placés verticalement les uns à la suite des autres ; ils sont parfois superposés horizontalement; on retrouve ainsi cette disposition dans les sinogrammes 一, 二 et 三.
Le repérage devient malaisé dès que le nombre d’encoches dépasse une poignée, parce que IIIIIIII est naturellement plus difficile à lire que VIII. Le berger peut naturellement être conduit à intercaler des encoches de formes différentes servant de repères visuels Thèse de Lucien Gershel, exposée dans , : le repère « cinq » peut être une encoche plus longue, une encoche en biais ou, pour mieux le différencier des encoches simples, un repère en forme d'encoche double (comme V ou Λ) ; certains font l'hypothèse que le symbole pour 5 aurait correspondu initialement au pictogramme représentant une main humaine ouverte le plus largement, avec les cinq doigts le plus écartés possible, afin de représenter justement la quantité cinq, mais dont on n'aurait gardé que les deux doigts tendus « extrêmes », d'où cette forme assez proche de notre actuelle lettre ; le repère « dix » est presque toujours une encoche en croix (comme X ou +), et là encore le X aurait pu correspondre aux origines à deux V (5) placés l'un au-dessus de l'autre de manière inversée, voire à un signe légèrement « renversé » de côté, qui se seraient vite confondus avec la lettre ; les repères ultérieurs ont des formes plus élaborées, à trois encoches : 50 correspond à « V plus une encoche », ce qui produit des formes en N, Z ou E, et cent correspond à « X plus une encoche », donnant des formes en étoile, comme Ж ; ces formes évoluent ensuite vers des formes à deux traits, en L pour cinquante et en C pour cent.
Avec un bâton marqué, le berger repère assez facilement l'encoche sur laquelle s'est arrêté son décompte : par exemple, s'il a treize bêtes, son ongle s'arrête sur la troisième encoche après la première dizaine, ce qui se retranscrit en XIII ; s'il en a vingt-neuf, son ongle est à une encoche avant la troisième dizaine, ce qui se note XXIX ; s'il en a cinquante-neuf, son doigt a passé la première cinquantaine et se trouve à une encoche avant la dizaine suivante, soit LIX. Ce repérage primitif peut mener à des écritures atypiques : par exemple, un cran avant la dizaine avant cinquante se noterait IXL (pour trente-neuf). Il est régularisé par la suite, pour former le système connu de nos jours.
Notation romaine classique Symboles principaux
La notation romaine simplifie des notations plus archaïques, voisines de la notation étrusque, en utilisant les lettres de l'alphabet latin les plus ressemblantes aux anciens systèmes unaires (c'est-à-dire à base d'un seul signe, comme l'encoche). Les signes les plus communs sont indiqués dans le tableau suivant.
+ Notation classique Chiffre romain Valeur Remarques 1 Une marque verticale. Signe qui dérive de la pratique ancienne de l'entaille, comme l'ensemble de la numération romaine. 5 Une marque à laquelle on ajoute une autre marque (d’où des graphies archaïques comme ⋀, ⊢, ⋋ ou ⋌, elles-mêmes issues de lettres phéniciennes ou égyptiennes, les deux représentations ou interprétations ayant existé simultanément avant de s’unifier). 10 Une marque barrée. 50 Un V barré proche de ᗐ à l’origine (c’est-à-dire et superposés), aplati en ⊥, puis confondu avec . 100 Un X barré proche de Ж à l’origine (c.-à-d. et superposés), écrit ensuite ou et abrégé en () ou , qui s’est imposé en raison d’une confusion avec le C de . 500 Un ⊢ encadré (c.-à-d. ⊢ et superposés) devenu D, confondu ensuite avec . Le signe signifie aussi 500.
Un X entouré ou encadré qui, passant par plusieurs formes, a été écrit ⊕ ou comme un phi grec Φ, puis est devenu et ; toutes ces formes ont finalement été confondues avec , d’autant plus que se dit en latin.
Modes de représentation vignette|upright|alt=Fragment de calendrier romain où 9 est écrit VIIII.|Calendrier romain de Verrius Flaccus où apparaissent, de bas en haut, les nombres , , , (au lieu de ) et .
Les Romains représentaient les nombres ainsiJean François Adolphe Dumouchel, Traité d'arithmétique contenant plus de 1500 exercices et problèmes gradués, 1865, pages 206 et 207. : un nombre en chiffres romains se lit de gauche à droite (avec de rares retours en arrière, pour faire des soustractions). Un symbole apparaît au plus trois fois de façon contiguë (sauf ). Si un symbole est plus petit ou égal au symbole avant lui, alors ils s'additionnent (exemple : 6 s'écrit ). Tout symbole qui précède un symbole de valeur supérieure se soustrait à ce dernier : doit être retranché à ou à quand est devant ou (ex. : 4 s'écrit ) ; on peut trouver pour 18 ; doit être retranché à ou à quand est devant ou (ex. : 40 s'écrit ) ; doit être retranché à ou à quand est devant ou (ex. : 900 s'écrit ) ; en revanche, ôter de ou de n'est pas pratiqué (49 s'écrit et non ; 99 s'écrit et pas ). Les symboles sont groupés par ordre décroissant, sauf pour les valeurs à retrancher selon la règle précédente (ex. : s'écrit et non qui est une des façons de représenter Une autre façon de représenter est .).
vignette|upright|alt=Revers d'une pièce romaine où 4 est écrit IIII.|Sesterce d'Antonin le Pieux : le revers porte l'indication « COS »COS signifie consul..
L'épigraphie prouve que plusieurs graphies ont coexisté librement et le mode opératoire décrit ci-dessus ne s'est fixé que tardivement.
Certains nombres peuvent s'écrire sous différentes formes : le 4 peut être écrit plutôt que . Cette écriture, le « 4 horloger », est toujours employée pour certains cadrans utilisant les nombres romains. vignette|redresse|La Tour de l’Horloge inaugurée en 1499 à Venise met en évidence l’utilisation de IIII, VIIII, XIIII, XVIIII, et XXIIII. Sur les premiers cadrans « » de ce type, les , , et étaient respectivement écrits : VIIII, XIIII, XVIIII et XXIIII (Tour des Maures à Venise).. Le 8 peut être écrit plutôt que , 40 écrit XXXX plutôt que , 95 écrit plutôt que , ou 400 écrit plutôt que . La monnaie romaine privilégie d'ailleurs les formes additives, préférant à et à . L'épigraphie latine emploie largement les formes additives pour IIII, VIIII et XXXX, plus lisibles que les formes soustractives IV, IX, XLRené Cagnat, Cours d'épigraphie latine, Paris, 1885, rééd. 1890 (lire l'édition de 1890 en ligne).Exemples comptés par milliers d'inscriptions sur Epigraphik-Datenbank Clauss / Slaby..
Les mathématiciens de l'époque ne se servent pas de cette notation pour faire des additions ou des multiplications ; ils ont recours à des abaques, utilisant de ce fait une notation positionnelle sans avoir conscience qu'elle pourrait servir à écrire les nombres de façon permanente.
Les calculateurs romains se servaient également d'un système complexe de comput digital. Il est également possible que les utilisateurs de ce système aient appris certains résultats par cœur (comme aujourd'hui nous apprenons des tables de multiplication), ..
Exemples + Nombres romains Milliers, de 1000 à 4000 Voir extensions Centaines, de 100 à 900 Dizaines, de 10 à 90 Unités, de 1 à 9
= + + + = + + + + 500 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = . = + + + = + 500 + 10 + 5 = . = + = + + 1 + 1 = . DCLXVI = D + C+ L + X +V + I = 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 666. = + = 500 + (10 - 1) = 509. = + = 10 + 5 = 15. = + = 10 + (5 - 1) = 14. = + = 10 + 1 + 1 +1 = 13. = + = 10 + 1 + 1 = 12. = + = 10 + 1 = 11.
Extensions de la notation classique Par des traits horizontaux ou verticaux vignette|upright|alt=Revers d'une pièce romaine où VII est surligné sans que cela implique de multiplication.|Exemple d'exception : sur le revers de cette monnaie de Vespasien, « COS » se lit comme 7, sans multiplication.
Une barre horizontale similaire à un macron suscrit, appelée ou en latin, indique un facteur multiplicatif de . Ces traits peuvent s'étendre sur plusieurs nombres et ainsi multiplier un ensemble de chiffres. Exemples : = , = , = , = , = , = , ou = , = , = = 41 () × + 156 () × + 605 (), etc.
Cette notation peut être utilisée conjointement à deux traits verticaux à gauche et à droite du nombre, indiquant quant à eux un facteur multiplicatif de 100. L'épigraphie latine montre ainsi un comptage par centaines de milliers noté en encadrant le chiffre sur trois côtés ; ainsi, ce fragment des Fastes d'Ostie découvert en 1941 publie le chiffre du recensement d'Auguste et Tibère (de l'an 14) de la façon suivante :
C S C R K DCCCC Ce qui se lit , traduit en soit . Cette représentation est d'ailleurs conforme à ce que Pline l'Ancien écrit dans son Histoire naturelle : , soit ..
L'usage d'un trait suscrit doit être considéré avec prudence ; parfois il sert simplement à mieux distinguer les chiffres des lettres, voire à signaler une multiplication par 100 si le chiffre surligné précède une abréviation indiquant déjà les milliers ( mill. = 13 × 100 mill. = ).
vignette|Signature du pape .
Et dans l’écriture manuscrite actuelle, certains encadrent le nombre romain par deux traits horizontaux continus, en haut et en bas.
Par enrichissement de la notation antique
vignette|upright|alt=Page datée de 1582 avec une liste de nombres romains.|Liste de nombres romains établie en 1582. vignette|upright|alt=Détail d'un ouvrage où l'éditeur a écrit la date 1586 avec CIↃ (1000), IↃ (500), XXC (80) et VI (6).|Ouvrage de Theodor Zwinger où l'éditeur a décomposé la date 1586 en CIↃ (1000), IↃ (500), XXC (80) et VI (6). vignette|upright|alt=Plaque de la Westerkerk (Amsterdam) où 1630 s'écrit avec des CIↃ et IC aux I proéminents.|Plaque de la Westerkerk, à Amsterdam, avec des I proéminents.
Dans l'ancienne notation romaine, le chiffre s'écrit de nombreuses façons : ⊗, ⊕, Φ, CIↃ, CꟾↃ, ↀ, ∞, ou ⋈ ; de même, le chiffre 500 peut se représenter avec des équivalents aux symboles divisés en deux, comme Ꟈ, IↃ, ou ꟾↃ.