En analyse mathématique, le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de deux variables au voisinage d'un point critique.
Énoncé
Soit une fonction à deux variables et . Soit un point critique . On a en ce point les dérivées premières :
On pose pour les dérivées secondes :
Les notations sont appelées « notations de Monge ».
Le calcul du déterminant permet de distinguer les cas suivants : si le point critique est un extrémum local : si , c'est un minimum ; si , c'est un maximum ; si , on a un point selle – ou point col ; si , on ne peut rien conclure et il faut mener une étude locale.
Exemples
Coniques
Pour un paraboloïde , le seul point critique est en . On a :
C'est donc un minimum (global).
Pour un hyperboloïde , le seul point critique est aussi en . On a :
C'est donc un point-selle.
Surface cubique
Pour , on a deux points critiques en et , mais :
Il faut donc mener une étude locale de la fonction pour conclure.
Notes et références
. . .
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