En mathématiques, un espace métrique faible (ou espace hémi-métrique) généralise la notion d'espace métrique et même d'espace pseudo-métrique.
Définition
Une distance faible sur un ensemble est une fonction
telle que pour tout ,
(inégalité triangulaire). Un espace métrique faible est alors un couple formé d'un ensemble et d'une distance faible sur .
Exemples C'est le cas des distances dans un réseau comportant des segments à sens unique, et généralement dans tout graphe orienté.
Cas particuliers Une distance faible symétrique est un écart. Une distance faible qui vérifie la propriété de séparation est une quasi-distance. Une distance faible qui vérifie à la fois ces deux propriétés est une distance.
Propriétés topologiques Une distance faible induit une topologie sur . Une base d'ouverts de cette topologie est donnée par l'ensemble :
où est la boule ouverte de rayon centrée en . En particulier, tout point de admet une base dénombrable de voisinages.
Notes et références
Catégorie:Topologie Catégorie:Espace métrique
en:Metric (mathematics)#Pseudoquasimetrics