La pyramide de Khéops a été scrutée et mesurée avec autant de précision que possible par des chercheurs issus de différents domaines depuis le début du . De ces mesures ont découlé plusieurs hypothèses sur la volonté de ses concepteurs d'utiliser quelques éléments mathématiques dans ses proportions.
Conventions
Afin de comparer les différents résultats et d'analyser les intentions des concepteurs, les mesures sont exprimées en coudées égyptiennes. La pyramide avait ainsi, à l'origine, une base de 440 coudées et une hauteur de 280 coudées. La pente de ses faces est alors donnée par le rapport 280/220 soit 14/11. Ce rapport, étant un nombre sans dimension, reste bien entendu le même quelle que soit l'unité de mesure considérée.
L’origine de la pente 14/11 de la grande pyramide
vignette|Apparition de la pente 14/11 à Meïdoum
Cette pente de l'apothème de la pyramide n'est pas la seule qui fut mise en œuvre par les anciens Égyptiens pour la construction des pyramides. La pyramide de Meïdoum connut plusieurs changements de plans. Initialement conçue comme une pyramide à degrés, elle fut par la suite recouverte d'un parement lui ayant donné l'apparence d'une pyramide à faces lisses. La pente des faces de ses gradins était de 7/2 et le rapport entre la hauteur d'un gradin et sa largeur de 2/1 (ou 7/3,5). Le parement étant parallèle à la ligne joignant les sommets des gradins, sa pente est donc de 7/5,5 soit 14/11, valeur de la pente finale des faces de la pyramide.. Cette valeur fut donc pour la première fois appliquée à la pyramide de Meïdoum mais ne constitue pas une règle chez les constructeurs de l'Ancien Empire puisque certaines pyramides ont une pente de 17/18 (pyramide rouge), 4/3 (pyramide de Khéphren) ou encore 7/5 (pyramide rhomboïdale).
Le nombre pi et le nombre d’or
vignette|Proportions de la grande pyramide
Quand on étudie la géométrie de la grande pyramide, il est délicat de faire la distinction entre les intentions des constructeurs et les propriétés qui découlent des proportions de l'édifice. On mentionne souvent le nombre d'or et le nombre Pi présents dans les proportions de la pyramide : les Égyptiens ont, nous l'avons vu, choisi une pente pour les faces de 14/11.
Concernant le nombre d'or, la proportion de 14/11 entraîne un rapport apothème/demi-base égal à , proche de .. La valeur du nombre serait donnée par le rapport (demi-périmètre de la base)/hauteur. On obtient ainsi la valeur approchée .
Ces deux résultats découlent donc de l'utilisation d'une pente de 14/11. S'il faut y voir une volonté délibérée de les inscrire dans la construction, le mérite en reviendrait à l'architecte qui utilisa pour la première fois cette pente à la pyramide de Meïdoum, achevée sous le règne de Snéfrou. Cette proposition est débattue depuis longtempsSelon R. P. Hypher, « The Value of " pi " and the Pyramids of Egypt. Intentional or Accident? », , , 1978, , , .. Mais les récentes recherches de ces dernières décennies de plusieurs égyptologues comme David Ian Lightbody ou Léon Cooper suggèrent que le nombre PI a intentionnellement été intégré dans les proportions de la grande pyramide, confirmant ainsi les observations d'égyptologues antérieurs comme W.F Pétrie.
D'après les quelques rares documents mathématiques recueillis à ce jour, les Égyptiens de l'Antiquité semblaient utiliser au minimum deux valeurs encadrant le nombre . Le problème numéro 48 du papyrus de Rhind suggère une borne inférieure de 28/9 = 3,111 pour calculer l'aire d'un disque de diamètre 9 unités et assimilé à un octogone régulier. Un second problème, numéro 50, suggère quant à lui une borne supérieure 256/81 = 3,1605 pour calculer l'aire d'un disque, méthode de calcul déjà mentionnée notamment dans le Papyrus Rhind datant du Moyen Empire (voir aussi Géométrie dans l'Égypte antique). Ces deux problèmes suggèrent que le scribe était conscient de donner des approximations de la valeur idéale, et il n'est pas possible d'affirmer que la meilleure approximation était 3,1605 au regard de l'encadrement compris entre 28/9 et 256/81 que suggèrent les problèmes 48 et 50.
De nombreux auteurs ayant étudié les mathématiques égyptiennes admettent que « Le papyrus mathématique Rhind est le livre source mathématique le plus complet qui ait survécu de l'Égypte ancienne, mais il faut se rappeler que les réalisations égyptiennes ont peut-être été plus importantes que ne le révèlent ces pages ; on ne peut pas s'attendre à ce que l'éventail complet des connaissances soit présent dans le texte d'un apprenant scribe. »
Il est donc tout à fait possible que les Égyptiens aient développé une connaissance assez précise du nombre que les sources textuelles ne renseignent pas. Corina Rossi, admet « qu'il est possible de suggérer que, dans leurs bâtiments, les anciens architectes égyptiens ont caché des relations mathématiques significatives, non immédiatement perceptibles et liées à une connaissance ésotérique... »
Relations de surfaces vignette|gauche|Relations pour le calcul des surfaces de la base et du niveau de la chambre du roi. vignette|Relations entre les surfaces de la base et du niveau de la chambre du roi (mesures en coudées).
Il existe une relation remarquable entre l'aire de la base de la pyramide et l'aire du niveau de la chambre du roi, dont le sol se situe à 82 coudées43 mètres, . au-dessus du niveau du sol. L'aire de la base vaut , soit soit encore 2×. Les côtés du niveau de la chambre du roi valent . L'aire de ce niveau est donc égale à .
Première propriété : l'aire du niveau de la chambre du roi est égale, à 0,01 % près, à la moitié de l'aire de la base de la pyramide.
vignette|gauche|Cercle de rayon h et base de côté c (périmètres égaux).
De nombreuses relations sont également le fait de ce rapport 14/11. Tout d'abord, la circonférence du cercleDonnée par la formule ., dont le rayon est la hauteur de la pyramide (soit 280 coudées), est égale au périmètre de la base de la pyramide (dont les côtés mesurent 440 coudées).
vignette|Relations entre la hauteur et l'aire des faces.
En effet, la circonférence du cercle est donnée par 2××280 = et le périmètre du carré par 440×4 = .
Deuxième propriété : Le périmètre de la base de la pyramide est égal, à 0,02 % près, à la circonférence du cercle dont le rayon est la hauteur de la pyramide.
Observez que l'on obtient 0,00023 % d'erreur si l'on utilise = 3,14285 (voir § Le nombre et le nombre d’or).
L'aire des quatre faces de la pyramide, si l'on néglige le phénomène de creusement des faces au niveau de l'apothème, est donnée par a×c/2 soit 356,09×440/2 = et h = 280 = . Par conséquent ces deux valeurs sont égales à 2×(78400 – 78339,8)/(78400 + 78339,8) = 0,08 % près.
Troisième propriété : L'aire de chacune des faces de la pyramide est égale, à 0,001 % près, à la hauteur de la pyramide élevée au carré.
Observations mathématiques et astronomie
L’orientation de la pyramide suivant les quatre points cardinaux
Il s'agit de la propriété la plus remarquable d'un point de vue technique, et tous s'accordent sur le fait qu'elle fut bien l'intention des constructeurs. C'est l'égyptologue Petrie qui, au , est le premier à avoir attiré l'attention sur l'extraordinaire précision obtenue par les anciens Égyptiens, extrait de Iorwerth Eiddon Stephen Edwards, Les Pyramides d'Égypte, 1992 , .. Les quatre faces mesurent à leur base : 230,454 m au sud, 230,253 m au nord, 230,357 m à l'ouest et 230,394 m à l'est. L'erreur obtenue pour un carré parfait est de seulement 20 cm (seulement 4,4 cm selon Mark Lehner Mark Lehner, The Complete Pyramids, 1997, .). La pyramide est orientée suivant les quatre points cardinaux avec une erreur moyenne de 3'. L'erreur moyenne sur les angles droits de la base est également de 3'. La base de la pyramide a été nivelée avec une erreur de quelques centimètres.
La pyramide et l’étoile polaire
vignette|La précession des équinoxes (position de l'étoile polaire vers -2650).
La précession des équinoxes est un changement de direction de l'axe de rotation de la terre. Cet axe de rotation pointe actuellement vers l'étoile polaire, l'étoile la plus brillante de la constellation de la Petite Ourse. Cette précession a pour effet de provoquer un mouvement apparent des étoiles de la voûte céleste, et par conséquent de l'étoile polaire. Si l'on remonte à l'époque de la construction de la grande pyramide (v. -2650), Alpha du Dragon (aussi appelée Thuban) de la constellation du DragonIl est aisé de vérifier ce fait en téléchargeant un logiciel gratuit d'astronomie permettant d'afficher la position des étoiles en fonction de la date entrée. On vérifie ainsi qu'en -2650, l'étoile alpha du dragon avait un azimut de 0°53'. était au plus proche de l'axe de rotation de la terre allant même jusqu'à ne s'en éloigner que de 0,5° vers -2800. De nombreux auteursSous l'impulsion d'Alexandre Badawy, Scriba, Les conduits d'aération de la grande pyramide de Giza, , 1995, . affirment que, le conduit nord de la chambre du roi ou la descenderie, pointaient vers l'étoile polaire de l'époque, Alpha du Dragon. Il y a un moyen très simple de déterminer l'angle d'inclinaison d'une galerie destinée à viser l'étoile polaire. Il faut que cet angle soit égal à la latitude du lieu où se trouve cette galerie, soit ici la latitude de la pyramide de Khéops qui est de . Or, d'une part l'angle de la descenderie est de ., et d'autre part l'angle du conduit de ventilation nord de la chambre funéraire est de .
En conclusion, ni les conduits ni la descenderie ne pointent (ni ne pointaient) le pôle céleste, aucun d'entre eux ne pointant l'étoile Alpha du Dragon à la date mentionnée ci dessus.
La pyramide et l’étoile Alnitak de la constellation d’Orion
vignette|Alnitak (Zeta, à gauche de la ceinture d'Orion)Sirius en bas à gauche.
Il y eut de nombreuses théories visant à faire de la pyramide un observatoire astronomique. Les couloirs de ventilation côté sud auraient pointé pour l'un (celui de la chambre de la reine) vers l'étoile Sirius, et pour l'autre (celui de la chambre du roi) vers l'étoile Alnitak. Or le couloir de ventilation sud de la chambre du roi est incliné suivant un angle de 45° par rapport à l'horizontal.. Il pointe donc un point du ciel dont l'altitude est égal à 45° alors que l'altitude de l'étoile Alnitak, à cette époque était de à son zénith. Un écart de moins de 1° qui ne permettait pas cependant d'avoir une visée directe de l'étoile.
La pyramide et l’étoile Sirius de la constellation du Grand Chien
Une autre théorie affirme que le conduit de ventilation sud de la chambre de la reine pointait l'étoile Sirius qui, à l'époque avait une altitude à sa culmination de Calculé avec le logiciel Cartes du ciel v.2.76 (-2650BC aux latitudes et longitudes de la grande pyramide).. Or ce conduit, incliné de ., pointe un endroit du ciel dont l'altitude est égale à cette valeur angulaire, une position différente de Sirius de plus d'un degré.
La géométrie de la distribution interne
Les conduits de ventilation
Une propriété géométrique semble avoir été voulue par l'architecte de la grande pyramide. Les conduits de ventilation de la chambre de la reine atteindraient tous les deux le même niveau de la pyramide. Ce fait est vérifié pour les conduits de la chambre du roi. Cette théorie s'oppose à celle, astronomique, exposée ci-dessus.
Le conduit sud de la chambre de la reine est incliné d'un angle de et le conduit nord, d'un angle de . Ces deux conduits suivent donc le chemin le plus court parvenant à la surface de la pyramideL'angle formé entre ces conduits et les faces de la pyramide est presque droit : pour le conduit sud et pour le conduit nord.. Ces angles correspondent, approximativement, à une pente de 11/14, l'inverse de la pente de 14/11 de l'apothème de la pyramide.
Le conduit sud de la chambre du roi est incliné d'un angle de 45° correspondant à une pente simple de 1/1 et le conduit nord, d'un angle de correspondant à une pente de 7/11.