thumb|upright|Abraham de Moivre a donné son nom à la formule. La formule de MoivreElle est parfois appelée « formule de de Moivre » pour se rapprocher de l'anglais Formula of De Moivre ou du consacré De Moivre's formula. En revanche, l'usage nettement prépondérant en France et dans les pays francophones, notamment dans l'enseignement, est « la formule de Moivre » car aucune contrainte typographique n'impose de faire figurer la particule « devant les noms d’une syllabe, les noms de deux syllabes avec finale muette et les noms commençant par une voyelle ou un h muet », comme le rappellent les recommandations des conventions typographiques dérivées du Lexique des règles typographiques en usage à l’Imprimerie nationale à sa ; un extrait de celles-ci figure en page de discussion du présent article. affirme que, pour tout nombre réel et pour tout entier relatif :
Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de –1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits.
Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « » par « ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance , on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.
Interprétation géométrique
Pour réel, l'égalité « » entraîne que le nombre complexe a pour Dans le plan d'Argand, les nombres complexes de forment le cercle C de centre O et de (le cercle unité). En particulier, le point M d'affixe appartient à C. Si I est le point l'angle (OI, OM) mesure . La formule de Moivre affirme que est l'affixe du point N de C tel que l'angle orienté (OI, ON) mesure .
La formule de Moivre s'appuie sur un résultat plus général concernant l'interprétation géométrique du produit de nombres complexes : si et sont deux nombres complexes de , on place les points M et N d'affixes respectives et , et on obtient comme l'affixe du point P de C tel que . On dispose alors de la formule générale :
qui (en développant le membre de gauche) équivaut aux formules d'addition pour le cosinus et le sinus.
Historique
thumb|Timbre à l'effigie d'Euler. La forme courante de la formule apparaît dans l'Introduction à l'analyse infinitésimaleLeonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, chap. 8 (« De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis »), § 133. d'Euler qui la démontreÉnoncée plus que démontrée selon ., pour tout entier naturel , en 1748. Mais elle apparait de manière implicite. chez Abraham de Moivre plus de 30 ans plus tôt à plusieurs reprises à partir de 1707Dès 1707, dans les Philosophical Transactions, , art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la , , et des puissances supérieures (), puis en 1730 dans ses Miscellanea Analytica, Londres, et dans les Philosophical Transactions de 1738, , problème III ()., dans ses travaux sur les racines -ièmes de nombres complexes. Elle servira d'ailleurs en partie à la démonstration de la formule d'Euler ; Prouvant l'antériorité de la formule de Moivre sur celle d'Euler contrairement à ce que l'imagination laisserait à penser. Les deux problèmes sont effectivement liés : écrire que est équivalent à dire que est une des racines -ièmes du complexe . La Formule d'Euler étant postérieur à celle de Moivre, elle ne peut-être utilisée pour la démontrer (à moins de démontrer la formule d'Euler sans s'appuyer sur celle de Moivre ! Ce qu'a fait Euler.)
Démonstration On démontre (1) dans un premier temps pour par récurrence sur . Pour , la formule est vraie puisque et par convention, . Soit un entier . Supposons la formule vraie pour . Alors,
Ce qui donne :
Par la formule (2), il vient :
On en déduit que la formule est vraie au rang .
D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels.
Lorsque , on considère l'entier tel que . Ainsi
Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs , c.q.f.d..
Utilisations de la formule de Moivre
Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances n de nombres complexes sous forme trigonométrique :
ainsi que pour obtenir les formes de et en fonction de et .
Par exemple, pour avoir et , on égale :
On a :
On identifie les parties réelles et imaginaires, pour obtenir les deux égalités suivantes :
On dispose ainsi des formules trigonométriques de duplication.
Polynômes de Tchebychev
thumb|upright|Pafnouti Tchebychev. La formule de Moivre donne :
En prenant la partie réelle et en posant , il vient :
où est un polynôme de degré , appelé polynôme de Tchebychev.
Notes et références Notes
Références
Bibliographie
Catégorie:Identité mathématique Moivre Catégorie:Nombre complexe