En mathématiques, dans le domaine de l'analyse, le théorème de dérivation des fonctions composées (parfois appelé règle de dérivation en chaîne ou règle de la chaîne, selon l'appellation anglaise) est une formule explicitant la dérivée d'une fonction composée pour deux fonctions dérivables. Elle permet de connaître la -ème dérivée partielle de la -ème application partielle de la composée de deux fonctions de plusieurs variables chacune. Schématiquement, si une variable dépend d'une seconde variable , qui dépend à son tour d'une variable , le taux de variation de selon est calculable comme le produit du taux de variation de selon et du taux de variation de selon : .
C'est de cette règle que découle celle du changement de variable pour le calcul d'intégrales.
Cas réel
Une démonstration est proposée sur la Wikiversité .
Si est dérivable sur et dérivable sur on a donc, sur : .
Il est aussi possible de l'écrire avec la notation de Leibniz sous la forme :
où indique que dépend de comme si était une variable.
Pour une meilleure lecture on pose souvent et l'on obtient : .
Cas général
En particulier si , et , la matrice jacobienne de au point est le produit de celle de au point par celle de au point , ce qui, en notant
peut s'écrire :
.
Voir aussi
Articles connexes Formule de Faà di Bruno Opérations sur les dérivées Lien externe . .
Derivation des fonctions composees Catégorie:Analyse réelle Catégorie:Analyse à plusieurs variables Fonctions composees