Pi

vignette|Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est . (pi), appelé parfois constante d’ArchimèdePi est appelé parfois la constante d’Archimède en raison de la contribution d'Archimède au calcul de l'aire d'un disque ou d'une sphère, et parce qu'il a été le premier à donner une méthode d'encadrement de la valeur numérique de Pi., est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre (le même pour tous les cercles) dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon.

Sa valeur approchée par défaut à moins de prèsValeur décimale exprimée sur 16 chiffres significatifs, soit la précision maximale (pour pi) d’un nombre flottant en double précision au format binaire sur 64 bits standard de l'IEEE, qui permet de stocker entre 15 et 17 chiffres décimaux significatifs (selon principalement la valeur du premier chiffre décimal et éventuellement les suivants) ; ce format binaire est utilisé dans de nombreux langages de programmation, par exemple dans le type double des langages C, C++, Java ; il est aujourd’hui pris en charge nativement par la plupart des microprocesseurs modernes et des bibliothèques mathématiques. est en écriture décimale. Site permettant une recherche de chiffres dans les décimales..

De nombreuses formules de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques impliquent , qui est une des constantes les plus importantes de cette discipline..

Le nombre est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont soit une racineLa preuve de ce résultat en 1882 est due à Ferdinand von Lindemann..

La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de , et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.

L’usage de la lettre grecque π, première lettre de , « périphérie, circonférence », n’est apparu qu’au à l'initiative du mathématicien William Jones (et ensuite adopté et popularisé par Euler). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

Définition et premières propriétés Définition vignette|droite|On déduit d’une propriété analogue pour les polygones réguliers que l’aire d’un disque égale son demi-périmètre multiplié par son rayon.

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistesPar exemple le Petit Robert ou le TLFi ; voir ., est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le plan euclidien, entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont semblables et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positif , si un cercle possède un rayon (ou un diamètre ) fois plus grand qu’un autre, alors son périmètre sera aussi fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport.

Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’aire par le carré de , ce qui prouve maintenant que le rapport est constant. On peut montrer, par exemple par la méthode des indivisibles, que cette constante vaut également .

Le dessin ci-contre illustre une autre méthode., essentiellement due à Archimède : le périmètre du polygone vaut à peu près alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu près . Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de .

Autres définitions La définition géométrique ci-dessus, historiquement la première et très intuitive, n'est pas la plus directe pour définir mathématiquement en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés, par exemple. définissent par l'analyse réelle, parfois à l'aide des fonctions trigonométriques, mais introduites sans référence à la géométrie :

Un choix fréquent est de définir comme le double du plus petit nombre positif tel que , où peut être définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe.., ou comme la solution d'un problème de Cauchy. Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle complexe qui découlent de sa définition par une série entière et qui font que l’application est un morphisme de groupes continu et surjectif de (ℝ, +) vers le groupe (𝕌, ×) des complexes de module . On démontre alors que l’ensemble des nombres réels tels que est de la forme ℤ où est un réel strictement positif.. On pose alors . Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la géométrie euclidienne. Le groupe Bourbaki propose une autre définition très voisine en démontrant, . l’existence d’un morphisme de groupes topologiques de (ℝ, +) vers (𝕌, ×), périodique de , tel que . Il démontreN. Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, , § 1, et . que est dérivable et que sa dérivée en est de la forme pour un certain réel , qu'il note .

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction ou la fonction .

On peut aussi définir à partir d'intégrales, par exemple. :

, ce qui revient à calculer l’aire d’un demi-disque de La courbe représentative de la fonction définie sur est un demi-cercle centré sur l'origine de rayon 1, l'aire sous la courbe est donc celle d'un demi-disque de rayon 1. ; , ce qui revient à la définition ci-dessus de comme le premier zéro de la fonction cosinusUne primitive de est (cf. Arc cosinus#Dérivée), l'intégrale vaut donc , étant le premier 0 de la fonction cosinus et étant nul., ou bien à calculer la longueur d'un quart de cercle de rayon 1 paramétré par Reinhold Remmert, « Le nombre », dans Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’Antiquité aux recherches actuelles, Vuibert , p. 124.. , en relation avec le théorème des résidus, où est l'unique valeur telle que, pour tout lacet rectifiable à un tour autour de , Daniel Leborgne, Calcul différentiel complexe, Presses universitaires de France, pp. 9-10 ..

On peut aussi définir à l’aide d'un dénombrement, en notant le nombre de couples d’entiers naturels tels que et en définissant : ce qui est une autre méthode pour calculer l'aire du quart de disque.

En 2024, une d'exprimer a été découverte par hasard, à l'occasion d'une étude des interactions de particules à haute énergie dans le cadre de la théorie des cordes...

Irrationalité

Le nombre est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire où et seraient des nombres entiers. Al-Khwârizmî, au , est persuadé que est irrationnel.com.. Moïse Maïmonide fait également état de cette idée durant le .

Ce n’est cependant qu’au que Jean-Henri Lambert prouve ce résultat. Il expose, en 1761, ., un développement en fraction continue généralisée de la fonction tangente. Il en déduit qu'un développement de , avec et entiers non nuls, s’écritPour plus de détails voir Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π. :

Or sous certaines hypothèses — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand est un rationnel non nul, est irrationnel. Or, vaut ; c’est un rationnel. Par contraposition, cela prouve que n’est pas rationnel.

Au cours du , d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du calcul intégral. L’une d’entre elles, due à Ivan Niven, est très largement connue... Une preuve similaire, version simplifiée de celle de Charles Hermite.., avait été trouvée quelque temps auparavant par Mary Cartwright..

Transcendance

Non seulement le nombre est irrationnel (voir section précédente), mais il est transcendant, c'est-à-dire non algébrique : il n'existe pas de polynôme à coefficients rationnels dont soit une racine..

C'est au que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite prouve que la base du logarithme népérien, le , est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème (le théorème d'Hermite-Lindemann) qui énonce que, si x est algébrique et différent de zéro, alors x est transcendant. Or est algébrique (puisqu'il est égal à –1). Par contraposition, est transcendant, donc comme est algébrique, est transcendant.

Une conséquence historiquement importante de la transcendance de est que celui-ci n'est pas constructible. En effet, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un disque donné..

De façon plus anecdotique, le fait que soit transcendant a permis à Don Coppersmith de montrer que lorsqu'on partitionne un disque par droites concourantes formant toutes entre elles des angles de radians, les deux sommes d'aires obtenues en considérant une part sur deux sont différentes si et seulement si est impairCe résultat a été raffiné depuis et est devenu le théorème de la pizza..

Représentation décimale Les 16 premiers chiffres de l'écriture décimale de sont (pour davantage de décimales, voir les liens externesSuite de l'OEIS : page donnant décimales de Pi et liens vers d'autres sites.). En 2013 on connaît plus de douze mille milliards de décimales de ., en 2022 cent mille milliards ()., en 2025 trois cent quatorze mille milliards ()..

Les applications concrètes, telles que l'estimation de la circonférence d'un cercle, n'ont généralement pas besoin de plus d'une dizaine de chiffres. En 1881, Simon Newcomb explique ainsi que .. Dans les années 1990, la représentation décimale de à était estimée suffisante pour calculer la circonférence d'un cercle d'un diamètre du même ordre de grandeur que la taille de l'univers observable avec un degré de précision comparable à celle d'un atome d'hydrogène.., compte tenu des estimations alors en vigueur.

En 2014, Donald Byrd, chercheur en informatique, revenait sur l'assertion de Newcomb pour l'actualiser à la lumière des avancées de la science depuis 1881 : il en concluait que pour un univers observable de (soit ) et une précision de la longueur de Planck, il suffit d'environ 60 décimales..

Puisque est un nombre irrationnel, sa représentation décimale n'est pas périodique à partir d'un certain rang. La suite des décimales de a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés., comme l'occurrence de nombres premiers dans les concaténations de ses décimales (voir la section d'article « Nombre premier issu de troncature de constante »).

Malgré les importants travaux d'analyse et les calculs effectués, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire cette suite de chiffres.. Les premières décimales sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels qui peuvent en calculer des milliards et qu'on peut installer sur un ordinateur personnel.