thumb|L'annulation d'une forme quadratique donne le cône de lumière de la relativité restreinte, son signe fait la différence entre les événements accessibles ou inaccessibles dans l'espace-temps. En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables. Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données respectivement par les formules suivantes (a,b,c,d,e,f désignant des coefficients) :
L'archétype de forme quadratique est la forme sur ℝ, qui définit la structure euclidienne et dont la racine carrée permet de calculer la norme d'un vecteur. Un autre exemple très classique est la forme sur ℝ, qui permet de définir l'espace de Minkowski utilisé en relativité restreinte. C'est pourquoi la théorie des formes quadratiques utilise le vocabulaire de la géométrie (orthogonalité). La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges, liés notamment aux questions de signes ou plus généralement au choix du corps dans lequel varient les coefficients.
Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : différents résultats de classification des coniques et plus généralement des quadriques, recherche de minimum ou maximum local d'une fonction de plusieurs variables à partir d'un développement limité, introduction de la courbure des surfaces, analyse en composantes principales en statistiques. Les formes quadratiques entières interviennent en théorie des nombres et en topologie algébrique.
On trouve également des formes quadratiques dans plusieurs domaines de la physique : pour définir l'ellipsoïde d'inertie en mécanique du solide, en relativité restreinte ou générale…
Généralités Définition courante Les exemples les plus simples de formes quadratiques sont donnés avec un certain nombre de variables et de coefficients, en commençant par les formes quadratiques binaires. La définition générale s'écrit dans un module sur un anneau commutatif. On se limite dans un premier temps au cas d'un espace vectoriel sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2 (ce qui permet la division par 2, comme pour ℝ ou ℂ). On peut alors formuler une définition dérivée de celle des formes bilinéaires :
La forme est alors unique : on la retrouve par une identité de polarisation, conséquence de la bilinéarité
où est symétrique. Elle est appelée la forme bilinéaire associée à , ou encore la forme polaire de . Ainsi, et se déterminent mutuellement.
On peut donner des exemples simples : lorsqu'on dispose d'un produit scalaire, l'application qui à un vecteur associe le carré de sa norme est une forme quadratique. Ou encore, si est une base d'un espace vectoriel de dimension n, en notant les coordonnées de dans cette base, les applications et sont des formes quadratiques. Les formes bilinéaires associées sont respectivement et .
Calculs algébriques
Deux vecteurs et sont dits orthogonaux par rapport à si , ce qui a bien un sens vu la correspondance entre et .
Pour tout scalaire et tout vecteur , . Deux vecteurs et sont orthogonaux par rapport à si et seulement si Plus généralement, pour tous vecteurs deux à deux orthogonaux par rapport à B et pour tous scalaires , . obéit à la règle du parallélogramme : La somme de deux formes quadratiques, et plus généralement les combinaisons linéaires de formes quadratiques sont des formes quadratiques.
L'expression "quadratique" provient de "carré" et témoigne de l'apparition de coefficients au carré dans ces formules. Cela ne veut pas dire pour autant que Q(x) est un réel positif, ce n'est pas toujours le cas.
Expression matricielle
Si est de dimension n, et si est une base de , on associe à la matrice symétrique définie par
La valeur de la forme quadratique est alors donnée par
où les sont les coordonnées de dans cette base, et la matrice colonne formée par ces coordonnées. On dit que est la matrice de dans la base .
L'expression de est un polynôme homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de , comme indiqué en introduction. Cependant les coefficients du polynôme dépendent du choix de base, alors que la définition formelle a l'avantage d'être totalement dégagée d'un tel choix. Précisément, si est une autre base de , et soit la matrice de passage de à '. De la relation on tire pour la matrice de dans la nouvelle base. On dit que et sont congruentes.
Inversement, le polynôme Q étant donné, le développement de Taylor en 0 de montre que
Orthogonalité, isotropie, dégénérescence
Orthogonalité des espaces
Plus généralement, si est un sous-espace vectoriel de , l'orthogonal de est le sous-espace
Ces notions généralisent l'orthogonalité dans les espaces euclidiens, mais il y a quelques pièges. Par exemple sur , pour la forme quadratique , chacun des sous-espaces et est son propre orthogonal.
Il existe deux démonstrations classiques de ce résultat. La première consiste en une démonstration par récurrenceC'est par exemple la démonstration proposée dans sur la dimension de l'espace. Pour établir l'hérédité on considère un vecteur tel que (s'il en existe, sinon la forme quadratique est nulle et la démonstration est terminée) et on applique l'hypothèse de récurrence dans l'hyperplan noyau de la forme linéaire non nulle . La deuxième méthode est un algorithme explicite en composantes, la réduction de Gauss, qui fait apparaître comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires. Il suffit alors d'introduire une base duale.
Plus généralement, si est non dégénérée, on a bien , comme dans le cas euclidien. Mais l'intersection n'est pas nécessairement réduite à zéro.
Radical, dégénérescence et rang Le noyau d'une forme quadratique (on dit aussi radical) est par définition l'orthogonal de l'espace tout entier.
Cet espace est le noyau de l'application linéaire de dans l'espace dual qui associe à la forme linéaire . Si est une base orthogonale de , est le sous-espace vectoriel engendré par les tels que .
Une forme quadratique est dite non dégénérée si , autrement dit si l'application linéaire ci-dessus est injective.
Si est un sous-espace supplémentaire de , la restriction de à est non dégénérée, et donne par passage au quotient une forme quadratique non dégénérée sur l'espace quotient V/rad(Q).
Si est non dégénérée, , mais n'est pas toujours la somme directe de et de son orthogonal, comme la situation euclidienne pourrait le faire croire.
Le rang de est par définition le rang de l'application de dans définie ci-dessus. D'après le théorème du rang, on a donc : . Si est de dimension finie, est aussi le rang de la matrice de dans n'importe quelle base.
Isotropie
Un vecteur non nul est dit isotrope si .
Un sous-espace vectoriel de est dit totalement isotrope si la restriction de à est la forme nulle.
Exemple. Sur K, soit la forme quadratique donnée par
Le sous-espace est totalement isotrope. Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension R. Goblot, Algèbre linéaire, Masson, Paris 1995, ch. 10, par. 4.. Cette dimension s'appelle lindice d'isotropie.
Exemples. Il est nul pour le carré de la norme euclidienne, et vaut n dans l'exemple précédent, ainsi que pour la forme quadratique sur ℂ donnée par
Plus généralement, l'indice d'isotropie d'une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel complexe est égal à (partie entière).
Discriminant Soit une forme quadratique et sa matrice dans une base de .
Si l'on effectue un changement de base de matrice (cf. § « Expression matricielle » ci-dessus), la matrice de dans la nouvelle base sera .
D'après les propriétés élémentaires des déterminants,
Si est non dégénérée, l'image du déterminant dans le groupe quotient ne dépend pas de la base ; c'est cet élément que l'on appelle le discriminant de la forme quadratique.
Si est dégénérée, on convient que le discriminant est nul.
Exemples Corps quadratiquement clos Si est quadratiquement clos (en particulier s'il est algébriquement clos, comme le corps des complexes), le quotient K*/(K*) est le groupe trivial et le discriminant est sans intérêt. Corps des réels Le quotient ℝ*/(ℝ*) s'identifie à {± 1}, vu comme sous-groupe multiplicatif de ℝ*. On peut donc parler de formes quadratiques à discriminant positif ou négatif. Par exemple, le discriminant de la forme quadratique sur ℝ, supposée non dégénérée, est donnée par le signe de . S'il est positif, la forme est définie positive ou définie négative ; s'il est négatif, la réduction de Gauss sera de la forme . On retrouve, ce qui n'est pas surprenant, la théorie de l'équation du second degré. Corps finis Si est un corps fini de caractéristique différente de 2, le groupe est cyclique d'ordre pair et est encore d'ordre 2. Corps des rationnels La décomposition d'un entier en facteurs premiers permet de voir que ℚ*/(ℚ*) est infini.
Classification des formes quadratiques On dira que deux formes quadratiques et sont équivalentes (certains auteurs disent isométriques) s'il existe une application linéaire inversible telle que . Cela revient à dire que l'expression de dans une base est identique (en tant que polynôme par rapport aux coordonnées) à celle de dans la base . Cela équivaut aussi à dire que leurs matrices dans une même base sont congruentes.
Classer les formes quadratiques sur un espace vectoriel , c'est : déterminer les classes d'équivalence de la relation précédente (qui est clairement une relation d'équivalence) ; ou, ce qui revient au même, déterminer les orbites de l'ensemble des formes quadratiques sous l'action du groupe linéaire donnée par
(ce sont deux façons d'exprimer la même chose).
Sur (où est un corps de caractéristique différente de 2) : deux formes équivalentes ont même rang et même discriminant (et même indice d'isotropie) ; toute forme quadratique de rang r est équivalente à pour certaines constantes non nulles .
On en déduit les résultats suivants : si (de caractéristique différente de 2) est quadratiquement clos, deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang ; si , deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même signature (loi d'inertie de Sylvester) ; si (de caractéristique différente de 2) est un corps fini, toute forme quadratique non dégénérée sur de discriminant est équivalente à (par récurrence, il suffit de le démontrer pour n = 2, ce qui revient à trouver, pour tous scalaires non nuls , un vecteur de K'' tel que ; il en existe, d'après le principe des tiroirs). Sachant que a deux éléments, cela montre qu'il y a exactement deux classes d'équivalence de formes quadratiques non dégénérées sur ; si , dès la dimension 1, il existe une infinité de formes quadratiques deux à deux non équivalentes.
Géométrie des formes quadratiques Théorème de Witt
Forme quadratique duale d'une forme quadratique de rang maximum Si est de rang maximum sur l'espace vectoriel , la forme bilinéaire associée définit un isomorphisme entre et son dual : à on associe la forme linéaire définie par
On définit alors une forme quadratique sur en posant
Si est la matrice de dans une base de , la matrice de dans la base duale de est .Application aux quadriquesSi l'on considère comme l'équation d'une quadrique projective de l'espace projectif , la forme donne l'équation tangentielle de la quadrique considérée.
Cas d'un anneau quelconque La théorie des formes quadratiques sur un anneau quelconque est légèrement différente, essentiellement parce que la division par 2 n'est pas possible. Il n'est plus vrai non plus que chaque forme quadratique est de la forme pour une forme bilinéaire symétrique . En outre, en caractéristique 2, même lorsque existe, elle n'est pas unique : puisque les formes alternées sont aussi symétriques en caractéristique 2, on peut ajouter toute forme alternée à et obtenir la même forme quadratique.
Une définition plus générale d'une forme quadratique sur un anneau commutatif quelconque est la suivante..