En mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque.
Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.
Définition
Pour toute variété différentielle M, Ω(M) désigne l'algèbre graduée anti-commutative des formes différentielles sur M. Il existe un unique opérateur linéaire , appelé dérivée extérieure, vérifiant : si ω est de degré k alors dω est de degré k + 1 ; en notant le produit extérieur, si α est de degré k, on a : ; le carré de est nul : ; pour toute 0-forme, c'est-à-dire toute fonction lisse , la 1-forme est la différentielle de .
Les éléments du noyau de sont appelés les formes fermées, et ceux de son image les formes exactes.
Expression en coordonnées locales Pour une k-forme sur ℝ, la différentielle s'écrit
En particulier, pour une 0-forme (i.e. une fonction) , on retrouve l'expression de la différentielle:
Exemple
Pour une 1-forme sur ℝ,
on a :
ce qui correspond exactement à la 2-forme qui apparaît dans le théorème de Green.
Fonctorialité La différentielle extérieure commute au pullback, c'est-à-dire que pour toute application différentiable et toute forme sur , .
Formule invariante Étant donné de degré et des champs vectoriels arbitraires lisses , on a
où dénote le crochet de Lie et
En particulier, pour les 1-formes :
et pour les 2-formes :
Lien avec le calcul vectoriel La correspondance suivante révèle environ une douzaine de formules du calcul vectoriel qui apparaissent comme des cas spéciaux des trois règles de différentiation extérieure ci-dessus.
Gradient Pour une 0-forme sur ℝ, c'est-à-dire une fonction lisse , on a
Alors
où dénote le gradient de et est le produit scalaire.
Rotationnel Pour une 1-forme sur ℝ (que l'on peut identifier à un champ de vecteurs),
Grâce au produit vectoriel sur ℝ, on peut identifier la 2-forme dω à un champ de vecteurs , appelé rotationnel de ω et défini comme suit (voir dualité de Hodge)
où est le produit scalaire et est le produit vectoriel. On retrouve ainsi la définition usuelle du rotationnel
Le fait que le rotationnel ainsi défini (comme le dual de Hodge de la dérivée extérieure du champ de vecteurs identifié à une 1-forme) s'identifie à un vecteur est propre à la dimension 3. De façon générale, ce n'est pas le cas, en particulier en dimension 4, le "rotationnel" ainsi défini est un objet (une 2-forme) de dimension 6, que l'on ne peut donc pas identifier à un vecteur (de dimension 4). Il n'y a pas de généralisation du rotationnel en dimension autre que 3.
Divergence
Pour une 2-forme on a :
En trois dimensions, avec on obtient :
où V est un champ vectoriel defini par
De façon générale (en dimension n quelconque), on peut définir un analogue de la divergence d'un champ de vecteurs en identifiant ce champ à une (n-1)-forme dont on prend le dual de Hodge de la dérivée extérieure. On a alors:
soit encore , où désigne la forme volume canonique.
Formules courantes d'analyse vectorielle
À l'aide des redéfinitions ci-dessus, les formules suivantes sont une simple conséquence de dans :
En notant l'espace des k-formes sur , on peut se représenter la chaîne:
La première flèche correspond au gradient, la seconde au rotationnel, la troisième à la divergence:
Référence
Henri Cartan, Formes différentielles, Hermann, 1967 plusieurs rééditions, la dernière en 2007 Articles connexes
Théorème de flux-divergence Théorème de Stokes
Catégorie:Forme différentielle Exterieure
pl:Forma różniczkowa#Różniczka zewnętrzna formy ru:Дифференциальная форма#Связанные определения