vignette|La poussée d'Archimède permet de concevoir la balance hydrostatique utilisée par les orfèvres du Moyen Âge pour analyser la densité des alliages d'or et d'argent. vignette|Les montgolfières exploitent le principe de la poussée d'Archimède, en devenant plus légères que l’air ambiantLes différentes forces qui agissent sur la montgolfière sont le poids de la montgolfière, le poids de l'air dans le ballon et la poussée d'Archimède..
La poussée d'Archimède est la force particulière que subit un corps placé entièrement ou partiellement dans un fluide (liquide ou gaz) et soumis à un champ de gravité. Cette force provient de l'augmentation de la pression du fluide avec la profondeur ou l'altitude (effet de la gravité sur le fluide, voir l'article hydrostatique) : la pression étant plus forte sur la partie inférieure d'un objet immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte une poussée globalement verticale ascendante. C'est à partir de cette poussée qu'on définit la flottabilité d'un corps. Cette poussée a été pour la première fois étudiée par Archimède.
Formulation du théorème d'Archimède
Pour que le théorème s'applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également qu'il soit possible de remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre l'équilibre, le contre-exemple étant le bouchon d'une baignoire remplie d'eau : si celui-ci est remplacé par de l'eau, il est clair que la baignoire se vide et que le fluide n'est alors plus au repos. Le théorème ne s'applique pas puisque nous sommes dans un cas où le bouchon n'est pas entièrement mouillé par le liquide et ne traverse pas sa surface libre.
Une fois les conditions précédentes respectées, dans un champ de pesanteur uniforme, la poussée d'Archimède, notée est donnée par la formule :
où : est la masse du fluide contenu dans le volume déplacé ; est l'accélération du champ de pesanteur.
Dans le cas particulier où la masse volumique du fluide est elle aussi uniforme, on a :
où est le volume de fluide déplacé.
Si l'on considère les intensités (normes) des forces alors, en notant PA et g les normes des vecteurs associés, on a :
L'intensité de la poussée d'Archimède s'exprime en , la masse volumique ρ en , le volume de fluide déplacé en et l'accélération de la pesanteur en .
Démonstration vignette|Les forces exercées sur un volume au sein d'un fluide quelconque.
Expérience de pensée Considérons un fluide au repos. On délimite, par la pensée, un certain volume de forme quelconque au sein de ce fluide. Ce volume est lui aussi au repos : malgré son poids, ce volume ne tombe pas. Cela signifie donc que son poids est rigoureusement compensé par une force opposée, qui le maintient sur place, et qui provient du fluide extérieur. On remplace maintenant, toujours par la pensée, ce volume par un corps quelconque. Comme la force qui maintenait le fluide en équilibre est une force de pression agissant à la surface du volume, il est possible de supposer que cette même force s'applique encore au corps immergé : elle est toujours opposée au poids de fluide déplacé. C'est la poussée d'Archimède.
Idée de la démonstration Supposons un cube d'arête a entièrement immergé dans un liquide, sa face du haut étant horizontale et située à une profondeur z > 0 (le sens positif est vers le bas). On notera le vecteur unitaire dirigé selon l'axe des z croissants (donc orienté vers le bas).
Dans le cas d'un liquide incompressible au repos soumis à un champ de pesanteur uniforme, la pression absolue p à une profondeur z vaut :
où : p est la pression atmosphérique ; p(z) est la pression hydrostatique à la profondeur z.
On considère une colonne de liquide, assimilable à un pavé droit de hauteur variable z et dont la surface de la base est constante et vaut A. À une profondeur z, la pression hydrostatique correspond à la norme P du poids de la colonne de liquide, divisé par la base A de la colonne de liquide : p(z) = P/A.
Or l'expression du poids de la colonne de liquide est :
où : m est la masse de la colonne ; z∙A est son volume ; ρ est la masse volumique (supposée uniforme) du liquide ; g est l'accélération de la pesanteur.
On obtient donc, en utilisant la formule p(z) = P/A : .
La pression absolue vaut donc .
Par symétrie, les forces de pression exercées sur les quatre faces latérales du cube s'annulent deux à deux.
La force , exercée par le liquide sur la face supérieure (d'aire A = a) du cube, est dirigée de haut en bas et vaut : .
La force dirigée du bas vers le haut, exercée par le liquide sur la face inférieure (d'aire A = a) du cube, qui est située à la profondeur z = z + a, vaut :
.
La résultante des forces de pression vaut donc :
où : V = a est le volume du cube, c'est-à-dire en l'occurrence le volume immergé ; m est la masse du fluide contenu dans un volume V.
La force résultante est donc bien égale à l'opposé du poids du volume de liquide déplacé. Cette force étant négative, elle est bien orientée verticalement du bas vers le haut.
Il est possible de généraliser la démonstration précédente à un volume de forme quelconque. Il suffit de décomposer la surface bordant le volume en éléments infinitésimaux dS supposés plans, puis de faire la somme, à l'aide d'un calcul d'intégrales, de toutes les forces infinitésimales exercées sur chaque élément de surface.
Démonstration plus générale On peut déduire le théorème d'Archimède de celui du gradient,ex. 32. : supposons un volume quelconque V, délimité par une surface fermée S, plongé entièrement dans un fluide de masse volumique ρ soumis à un champ de pesanteur , non nécessairement uniforme.
Par définition de la pression p, la résultante des forces de pression exercées sur le volume est :
où : est un élément infinitésimal de la surface considérée, orienté par convention de l'intérieur vers l'extérieur de cette surface ; p est la pression.
Par le théorème du gradient puis la loi fondamentale de l'hydrostatique, cette expression devient :
qui est l'opposé du poids du volume de fluide déplacé.
Applications Exemple d'un solide entièrement immergé
Immergeons entièrement un solide de volume V, de masse m et de masse volumique ρ dans un fluide de masse volumique ρ uniforme, puis relâchons-le à partir du repos. Au départ, la vitesse étant nulle, deux forces seulement agissent sur le solide : son poids F (vers le bas) et la poussée d'Archimède F (vers le haut).
Le rapport des masses volumiques est en l'occurrence équivalent à celui des densités : si la densité du solide est supérieure à celle du fluide, alors F > F et le solide coule ; si la densité du solide est égale à celle du fluide, alors F = F et le solide demeure immobile ; il est en équilibre neutre ou indifférent ; si la densité du solide est inférieure à celle du fluide, alors F < F et le solide remonte vers la surface.
Dans les deux cas où le solide n'est pas en équilibre, son mouvement ultérieur est déterminé par trois forces : son poids, la poussée d'Archimède (opposée au poids) et une force de frottement visqueux F (opposée à la vitesse).
Selon la deuxième loi du mouvement de Newton, on a alors : (le sens positif est vers le bas) où a est l'accélération du solide.
Comme la force de frottement visqueux n'est pas constante, mais qu'elle augmente avec la vitesse, l'accélération diminue graduellement, de sorte que le solide atteintMathématiquement, le solide tend de façon asymptotique vers une vitesse limite. En pratique, on considère la vitesse limite atteinte quand l'accélération n'est plus perceptible. plus ou moins rapidement une vitesse limite, lorsque la résultante des forces est nulle.
Exemple d'un solide flottant à la surface d'un liquide
Considérons un solide de volume V et de masse volumique ρ flottant à la surface d'un liquide de masse volumique ρ. Si le solide flotte, c'est que son poids est équilibré par la poussée d'Archimède : .
La poussée d'Archimède étant égale (en valeur absolue) au poids du volume de liquide déplacé (égal au volume V immergé), on peut écrire : — (1).
Le volume immergé vaut donc : ' — (2).
Puisque V > V, il s'ensuit que ρ < ρ .
Application au cas d'un iceberg Considérons un morceau de glace pure à flottant dans de l'eau de mer. Soit ρ = et ρ = (on aurait ρ = pour de l'eau pure à ). Le rapport (c’est-à-dire la densité relative) est égal à 0,895, si bien que le volume immergé V représente près de 90 % du volume total V de l'iceberg.
Un glaçon qui fond dans un verre
Il est facile de vérifier que la fonte d'un morceau de glace pure flottant sur de l'eau pure se produit sans changement de niveau de l'eau. Le volume de glace immergé correspond en effet au volume d'eau liquide nécessaire pour égaler le poids du glaçon ( 1). En fondant, le glaçon produit (par conservation de la masse) exactement ce volume d'eau, qui « bouche le trou laissé par la disparition de la glace solide ». Le niveau de l'eau reste le même. Sur la figure ci-contre, le volume délimité en pointillé est, dans le verre de gauche, le volume de glace immergée, et, dans le verre de droite, le volume d'eau liquide produit par la fonte du glaçon.
On peut également faire le calcul suivant : si on considère, par exemple, un glaçon de et de masse volumique (qui contient donc d'eau), le volume immergé est ( 2) (comme pour un iceberg, la majeure partie est sous l'eau). Lorsque le glaçon aura fondu, ce d'eau qui aura désormais une masse volumique de occupera exactement le volume qu'occupait la partie immergée du glaçon.
Autres illustrations de la poussée d'Archimède dans l'eau
Pour vérifier le principe d'Archimède par l'expérience, on se sert d'un cylindre plein en cuivre, qui remplit exactement un vase cylindrique creux du même métal. On pèse le tout dans l'air ; après avoir ôté le cylindre plein du cylindre creux, on accroche le premier au-dessous du second et on le fait plonger entièrement dans l'eau. Ainsi disposé le système a perdu de son poids et la balance n'est plus en équilibre. Mais si l'on remplit d'eau le cylindre creux, l'équilibre se rétablit ce qui prouve que la différence entre la première et la seconde pesée était précisément le poids d'un volume d'eau égal à celui du cylindre immergé.
Le corps humain étant à peu près de même densité que l'eau, il se trouvera proche d'un état de flottabilité indifférenciée, c'est-à-dire qu'il ne flotte ni ne coule. Il lui est alors facile en faisant varier la quantité d'air dans ses poumons - et de cette manière varier la densité du corps dans son entièreté - (et néanmoins quelques mouvements des bras et des jambes) de se maintenir à flot ou de plonger. Un plongeur se met à « couler » vers dans l'Atlantique ou la Méditerranée car sa densité augmente avec la profondeur (à cause de la compression croissante, particulièrement des bulles contenues dans le néoprène de sa combinaison : sa masse ne change pas mais son volume diminue) jusqu'à atteindre et dépasser celle du milieu ambiant.
L'eau douce ayant une masse volumique plus faible que l'eau salée, la poussée d'Archimède est plus forte dans la mer Morte (mer la plus salée du monde) que dans un lac. Il est donc plus facile d'y flotter. La vessie natatoire des poissons osseux qui leur permet d'améliorer leur flottabilité n'est pas sans analogie avec les poumons. On a longtemps pensé qu'au cours de l'évolution de ces deux organes homologues, la vessie natatoire de certains poissons Sarcoptérygiens a abouti à la formation des poumons primitifs dont les Dipneustes et les Tétrapodes ont hérité. Plusieurs biologistes et paléontologues remettent en cause cette version et avancent que ce serait en fait les poumons qui auraient évolué en une vessie natatoire. Le requin qui est privé de cet organe est obligé pour ne pas couler de nager sans arrêt.