En mathématiques, un nombre hexagonal centré est un nombre figuré polygonal centré qui peut être représenté par un hexagone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés en couches hexagonales concentriques de points, points, points, etc.

La formule générale pour le n-ième nombre hexagonal centré, lorsqu'il y a points sur chaque côté de la dernière couche est :

Gnomon, relation de récurrence Les quatre premiers nombres hexagonaux centrés sont :

Pour tout entier , le -ième hexagone centré a un point central et couches hexagonales régulières. Ainsi, il comporte points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tout entier , la dernière couche du -ième hexagone centré comporte points ; c'est le gnomon faisant passer du -ième hexagone centré au -ième :

Le -ième nombre hexagonal centré s'obtient donc en ajoutant au produit par du -ième nombre triangulaire :

Pour , cette expression est valable également car .

Exemple Le 5-ième nombre hexagonal centré est plus fois le 4-ième nombre triangulaire :

Applications pratiques Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les saucisses de Francfort dans des conteneurs cylindriques.

Liste des nombres hexagonaux centrés, propriété de congruence Les nombres hexagonaux centrés inférieurs à sont : (voir la ).

Le chiffre des unités en base dix de cette suite d'entiers suit le motif palindromique .

Les nombres hexagonaux centrés, tous impairs, sont congrus à 1 modulo 6.

Les nombres hexagonaux centrés comme différences de cubes consécutifs, et applications

Démonstrations de la formule Pour tout entier , vignette|300x300px Cette démonstration calculatoire peut s'interpréter visuellement ; dans la figure ci-contre, le n-ième nombre hexagonal centré est vu comme le nombre de petits cubes de la couche visible d'un cube de côté ; les cubes non visibles formant un cube de côté , il y a bien cubes visibles. AinsiAttention : plusieurs confusions y sont faites entre les valeurs de et celles de ., pour , le -ième nombre hexagonal centré est le gnomon faisant passer du -ième au -ième nombre cubique ( le nombre de cubes de côté visibles depuis un sommet d'un cube de côté composé de cubes de côté )Voir figure sur : .

Application aux sommes partielles de la série des nombres hexagonaux centrés , doncAttention : plusieurs confusions y sont faites entre les valeurs de et celles de . la somme des premiers nombres hexagonaux centrés est égale à .

Exemples :

Conséquences :

Pour tout , la moyenne arithmétique des premiers nombres hexagonaux centrés est égale au -ième nombre carré :

Les nombres pyramidaux hexagonaux centrés sont simplement les nombres cubiques, mais représentés par des formes différentes.

Application aux nombres hexagonaux centrés premiers Les nombres à la fois hexagonaux centrés et premiers sont les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs, appelés nombres premiers cubains de première espèce. On conjecture qu'il y en a une infinité. Les nombres hexagonaux centrés premiers inférieurs à sont :

Pour les suivants, voir :

(Pour la suite des nombres premiers, voir .)

Liens avec d'autres nombres figurés Pour trouver les nombres hexagonaux centrés qui sont aussi des nombres triangulaires ou des nombres carrés, ou tout cela à la fois, il suffit de résoudre les équations de Pell-Fermat associées.

Nombre hexagonal centré triangulaire

Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et triangulaires sont alors :

Pour les suivants, voir :

(Pour la suite des nombres triangulaires, voir .)

Nombre hexagonal centré carré

Les quatre plus petits nombres à la fois hexagonaux centrés et carrés sont alors :

Pour les suivants, voir :

(Pour la suite des nombres carrés, voir .)

Liens avec à la fois les nombres triangulaires et les nombres carrés

est le seul nombre à la fois hexagonal centré et carré triangulaire. Pour tout entier , la différence entre le -ième nombre carré impair et le -ième nombre hexagonal centré est le -ième nombre oblong :

Autrement dit, le -ième nombre carré impair est la somme du -ième nombre hexagonal centré et du double du -ième nombre triangulaire :

Cette relation peut faire l'objet d'une preuve sans mot : placer les deux triangles (ayant points sur chaque côté) contre deux côtés opposés (ayant points chacun) de l'hexagone forme deux pointes opposées et le corps d'un losange (ayant points sur chaque côté). Notes et références

Hexagonal centré