En mathématiques, un nombre chanceux d'Euler est un entier naturel tel que :

est un nombre premier pour tout est exclu d'office puisque ..

Formulation équivalente., parfois rencontrée : est un nombre premier pour tout . ou encore. pour tout .

Liste des nombres chanceux d'Euler Leonhard Euler a identifié six nombres chanceux : . et leur dénomination nombre chanceux d'Euler a été proposée par François Le LionnaisFrançois Le Lionnais, Les nombres remarquables, Paris, Hermann, 1983, p. 88 et 144..

En fait il n'en existe aucun autre, comme cela a été démontré en 1952. Ce résultat s'appuie sur un théorème de Rabinowitch.. qui affirme qu'un entier est chanceux si et seulement si (l'opposé du discriminant du polynôme quadratique ) est un nombre de Heegner. Or la liste des nombres de Heegner s'est avérée réduite aux neuf nombres 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163, dont les trois premiers ne sont pas de la forme avec .

p (nombre chanceux d'Euler) 4p - 1 (nombre de Heegner correspondant) 2 7 3 11 5 19 11 43 17 67 41 163

Cas particulier de 41 Le plus grand nombre chanceux d'Euler est donc = 41. Les 40 nombres premiers pour = 0, 1, … ,39 sont : 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, …, 1447, 1523, 1601. Le polynôme n² + n + 41 a d’ailleurs la particularité de fournir de nombreux nombres premiers pour n > 41, et il n'existe pas d'autre polynôme de la forme n² + an + b, avec des coefficients a et b entiers positifs et inférieurs à 10 000, qui produise une plus longue suite de nombres premiersGérard Villemin, « Nombres – Curiosités, théorie et usages »..

Exemple : 11 est un nombre chanceux d'Euler Soit . Testons si est premier pour tous les nombres :

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

: qui est premier.

On a vérifié que les 10 nombres sont bien premiers donc 11 est un nombre chanceux d'Euler.

Notes et références

Article connexe Formules pour les nombres premiers

Chanceux d'Euler Catégorie:Nombre premier Catégorie:Leonhard Euler