En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre donné de côtés. Les côtés d'une couche polygonale contiennent un point de plus que ceux de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre -gonal centré, la première couche contient points et à partir de la deuxième, chaque couche contient points de plus que la précédente.
Relation de récurrence et formule explicite Pour tous entiers ≥ 3 et ≥ 1, le -ième -gone centré a un point central et – 1 couches -gonales régulières.Pour tout entier ≥ 2, la dernière couche du -ième -gone centré comporte ( – 1) points ; c'est le gnomon associé au ( – 1)-ième -gone centré, et faisant passer au -ième :
Ainsi, le -ième -gone centré comporte points sur chaque rayon et sur chaque côté.
Pour tous entiers ≥ 3 et ≥ 1, le -ième nombre -gonal centré est donc égal à 1 plus la somme des premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison , ou encore, 1 plus fois le ( – 1)-ième nombre triangulaire. : Le fait que est illustré sur la figure ci-dessous dans le cas . centré|vignette
Nombre à la fois k-gonal centré et k-gonal Pour tout entier ≥ 3, le premier et le -ième nombres -gonaux centrés sont aussi -gonaux (non centrés):
Exemples : avec = 3 : le nombre = 10 = est à la fois triangulaire centré et triangulaire ; avec = 4 : le nombre = 25 = est à la fois carré centré et carré parfait.
Nombre polygonal centré premier
Pour tout entier ≥ 1, le -ième nombre octogonal centré est le -ième nombre carré impair. Il ne peut donc pas être premier.
Pour tout entier ≥ 1, le -ième nombre ennéagonal centré est le nombre triangulaire d'indice . Il ne peut donc pas non plus être premier.
Pour tout entier différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre -gonal centré, = 1 + , peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres -gonaux centrés premiers de rang ≥ 3 (contrairement aux nombres -gonaux).
Exemples : en gras dans les listes suivantes.
Listes de nombres polygonaux centrés + Nombres polygonaux centrés Nom, notation Expression Les dix plus petits nombres Numéro(s) de suite(s) de l'OEIS Nombres triangulaires centrés, 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136 et Nombres carrés centrés, 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 et Nombres pentagonaux centrés, 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226 et Nombres hexagonaux centrés, 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271 et Nombres heptagonaux centrés, 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316 et Nombres octogonaux centrés, 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 Nombres ennéagonaux centrés, 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406 Nombres décagonaux centrés, 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451 et Nombres undécagonaux centrés, 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496 et Nombres dodécagonaux centrés = Nombres étoilés, 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541 Intitulée et
Notes et références
Voir aussi
Lazy caterer's sequence
Nombre polygonal (non centré)
Polygonal centré