En mathématiques, les suites de Lucas et associées à deux entiers et sont deux suites récurrentes linéaires d'ordre à valeurs entières qui généralisent respectivement la suite de Fibonacci et celle de Fibonacci-Lucas, correspondant aux valeurs et .
Elles doivent leur nom au mathématicien français Édouard Lucas..
Définition par récurrence
Soient et deux entiers non nuls tels que
(pour éviter les cas dégénérés)C'est le choix adopté par . , l'étend au cas où P est la racine carrée d'un entier premier avec Q. Lucas prenait P et Q entiers premiers entre eux..
Les suites de Lucas et sont définies par les relations de récurrence linéaire
et
Terme général Notons l'une des deux racines carrées de (éventuellement dans ℂ).
Puisque , le polynôme caractéristique associé à la récurrence possède deux racines distinctes
Alors et peuvent aussi être définies en fonction de et par l'analogue suivant de la formule de BinetDans le cas , on a et , avec . :
dont on peut tirer les relations
Autres relations
Les nombres dans les suites de Lucas satisfont à de nombreuses relations ., qui généralisent celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :
Cette équation est un cas particulier des identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, mais peut aussi se déduire directement de l'expression de en fonction de et . Cette équation se déduit de ., Proposition A.3. et
en particulier
et
Divisibilité De la deuxième identité ci-dessus, (**) U = UU – QUU, on déduit immédiatement (par récurrence sur k) que U est toujours un multiple de U : on dit que la suite U(P, Q) est à divisibilité faible.
Pour qu'elle soit même à divisibilité forte, c'est-à-dire que pgcd(U, U) soit non seulement divisible par U mais égal (au signe près), il faut et il suffit que P et Q soient premiers entre euxY compris dans les cas dégénérés. ; ; ..
Si la suite est à divisibilité forte alors 1 = U = pgcd(U, U) = pgcd(P, P – Q) = pgcd(P, Q).
Réciproquement, supposons que pgcd(P, Q) = 1 et montrons d'abord par récurrence que pour tout n ≥ 1, U est premier avec Q.
L'initialisation est immédiate, et l'hérédité se déduit (grâce au lemme de Gauss) de pgcd(U, Q) = pgcd(PU, Q) et de l'hypothèse.
On déduit ensuite de cette propriété, jointe à l'identité UU – UU = QU, que pgcd(U, U) divise pgcd(U, U) pour 0 < r < n donc (par anthyphérèse) pgcd(U, U) divise U. La divisibilité forte s'ensuit.
Cas particuliers est la suite de Fibonacci et la suite de Fibonacci-Lucas. est la suite de Pell et la suite de Pell-Lucas. Plus généralement, et sont les valeurs en P du n-ième polynôme de Fibonacci et du n-ième polynôme de Lucas.
donne comme cas particulier qui est la suite des nombres de Mersenne et plus généralement, qui est la suite des répunits en base b. est la suite de Jacobstahl et la suite de Jacobsthal-Lucas. , .
(k ≥ 0) est la suite qui intervient dans le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne : S = V = 4 et S = S – 2.
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi Articles connexes LUC (un cryptosystème basé sur les suites de Lucas). Nombre pseudo-premier de Fibonacci Moyennes d'argent Théorème de Zsigmondy
Bibliographie
Liens externes
Lucas Catégorie:Suite de Fibonacci