En mathématiques, un approximant de Padé de la fonction exponentielle est une fraction rationnelle h(x)/k(x), où h(x) désigne un polynôme de degré p et k(x) de degré q, telle que le développement limité de la fraction à l'ordre p + q soit identique à celui de l'exponentielle. L'étude de cette question est l'exemple introductif choisi par Henri Padé pour la théorie des approximants portant son nom.
L'existence de suites de fractions rationnelles ayant pour limite l'exponentielle est une question déjà abordée avant les travaux de Padé. Leonhard Euler ouvre le bal avec deux expressions dont l'une fournit le développement en fraction continue infinie de , prouvant ainsi son irrationalité ; Jean-Henri Lambert démontre plus rigoureusement ce développement, Joseph-Louis Lagrange en trouve deux autresJ.-L. Lagrange, Sur l’usage des fractions continues dans le Calcul intégral, Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, t. 4, (1779). et Carl Friedrich Gauss encore un..
Le travail de Padé consiste à généraliser ces travaux précédents en vue d'illustrer par un exemple une théorie générale s'appliquant à toute fonction analytique. Il traite cette question sous quatre aspects : il montre l'existence d'un approximant de Padé d'indice (p, q), établit les relations de récurrence permettant de déterminer un approximant d'ordre supérieur, en déduit les différentes expressions sous forme de fractions continues (généralisées) de l'exponentielle et montre la convergence uniforme de certaines suites d'approximants.
La présentation ici correspond à une reformulation. de 1899 et un enrichissement d'une partie de son travail de thèse (thèse)..
Réduite de la fonction exponentielle Dans la suite de l'article, p et q désignent deux entiers positifs. Le premier résultat établit l'existence et l'unicité, à un facteur multiplicatif près, de deux polynômes hp,q et kp,q de degrés respectifs p et q, tels que :
Les développements en séries entières au point 0 de la fraction rationnelle hp,q/kp,q et de la fonction exponentielle coïncident sur les p + q + 1 premiers termes.
Une telle fraction rationnelle est appelée « approximant de Padé ». Pour établir ce résultat, le mathématicien se fonde sur l'expression suivante d'une primitive de etxf(x) où t est un paramètre, x la variable et un polynôme dont le degré est noté n :
Il en déduit les expressions suivantes :
La configuration présente de nombreuses analogies avec les fractions continues, ce qui justifie la définition suivante :
La fraction rationnelle hp,q/kp,q est appelée réduite d'ordre ou d'indice (p, q) de la fonction exponentielle.
On dispose de propriétés comme : si (r, s) est égal à (p + 1, q), (p, q + 1) ou (p + 1, q + 1), alors hk – hk est un monôme (non nul) de degré p + q + 1 ; les deux polynômes hp,q et kp,q sont uniques (à normalisation près) et premiers entre eux.
Soit n l'entier p + q. Pour tout polynôme de degré n :La vérification est immédiate, en dérivant par rapport à le membre de droite. Soient a et b deux réels et , et les polynômes définis par L'égalité suivante est vérifiée :En effet, puisqu'ici f(k)(a) est nul si k est strictement inférieur à q et f(k)(b) est nul si k est strictement inférieur à p, l'expression précédente, appliquée entre a et b, montre que Par exemple pour α :si bien que Si hp,q et kp,q sont les deux fonctions polynomiales suivantes alors le premier monôme non nul de la fonction entière kp,qet – hp,q est de degré p + q + 1 :En effet, hp,q et kp,q sont les quotients par n! des expressions ci-dessus des polynômes α et β, pour a = 0 et b = 1. Pour ces valeurs de a et b, l'égalité précédente devient donc :or la fonction entière qui à t associe l'intégrale de 0 à 1 de est non nulle en t = 0.
Une fois prouvée l'existence de la fraction réduite et déterminée son expression, il reste à démontrer son unicité. On le fait grâce à un lemme dont la démonstration est de même nature que celle montrant que le numérateur et dénominateur d'une fraction réduite sont premiers entre eux. Si (r, s) est égal à (p + 1, q) ou (p, q + 1) ou (p + 1, q + 1), alors hk – hk est un monôme (non nul) de degré p + q + 1 :En effet, d'une part ce polynôme est de degré inférieur ou égal à p + q + 1 et d'autre part, d'après l'égalitéson premier monôme non nul est de degré p + q + 1.
Les polynômes hp,q et kp,q sont premiers entre eux :En effet, d'après la propriété précédente, tout polynôme divisant à la fois h et k divise un monôme ; on en déduit que les seuls facteurs communs aux deux polynômes sont des puissances de t. Comme ces deux polynômes ne sont pas divisibles par t, ils sont bien premiers entre eux. Les polynômes hp,q et kp,q sont uniques :Soient h et k deux polynômes, de degrés respectivement majorés par p et q, tels que le développement en série entière en 0 de la fraction h/k coïncide jusqu'au degré n avec celui la fonction exponentielle. Par le même raisonnement que ci-dessus, hk – hk est un polynôme de degré inférieur ou égal à n sans monômes de degrés inférieurs ou égaux à n. Cette différence est donc nulle. Comme les polynômes hp,q et kp,q sont premiers entre eux et de degrés respectifs p et q, le couple (h, k) est proportionnel au couple (hp,q, kp,q).
Table de Padé Ainsi, la fonction exponentielle s'approxime par des fractions rationnelles, de manière un peu analogue à l'approximation par des polynômes avec les séries entières. Si les polynômes forment une suite, les approximants de Padé définissent un tableau à double entrée appelé , dans lequel l'approximant d'indice (p, q) figure dans la colonne p et la ligne q. Les premiers termes sont les suivantsCette table est extraite de . :
Table de Padé 0 1 2 3 … 0 … 1 … 2 … 3 … … … … … … … </center>
La première ligne horizontale correspond au développement en série entière. Les lignes diagonales définies par l'égalité p + q = C, où C est une constante positive donnée, correspondent à un ensemble de fractions rationnelles dite droite d'égale approximation. On y trouve par exemple, si C est égal à 2, les couples (2,0), (1,1) et (0,2). Une fraction rationnelle de la table est dite plus avancée qu'une autre lorsque son coefficient C est plus élevé.
Le graphique suivant illustre la convergence de différentes suites extraites de la table de Padé. Ici la notation Exp[p,q] désigne l'approximant d'indice (p, q). La fonction exponentielle, notée Exp, est illustrée en rouge. La première ligne du tableau correspond à la suite des polynômes de la série entière. Elle est illustrée en bleu et correspond à la suite Exp[1,0], Exp[2,0], Exp[3,0], etc. En vert et pointillé est illustrée la suite correspondant à la deuxième ligne de la table, elle est formée des approximants Exp[0,1], Exp[1,1], Exp[2,1], Exp[3,1], etc. En violet, on trouve les fractions de la diagonale : Exp[1,1], Exp[2,2], Exp[3,3], etc.
Formule de récurrence
Padé cherche ensuite à obtenir des suites à partir de sa table. Si (pn) et (qn) sont deux suites croissantes de couples d'indices, l'objectif est d'exprimer par récurrence la suite des « réduites » — déjà calculées — d'indice (pn, qn), pour comprendre le cas général. Cette récurrence est aussi une étape pour exprimer la fonction exponentielle sous forme de fractions continues généralisées, justifiant ainsi le nom de « réduites » pour ces approximants. L'exemple illustré par la figure de droite est utilisé par Lagrange pour obtenir un résultat de cette nature. Dans cet exemple, si fn(x) désigne le n-ième terme de la suite, on a :
puis :
Padé n'étudie l'incrémentation des indices (pn+1 – pn, qn+1 – qn) que dans les trois cas les plus simples : (1,0), (0,1) et (1,1). Le premier cas correspond à un déplacement horizontal d'une case, le deuxième à un déplacement vertical d'une case et le troisième à la conjonction des deux. Cette restriction lui permet d'obtenir des relations de récurrence :
Soit (fn) une suite de réduites dont le couple de la différence des indices entre fn+1 et fn correspond toujours à l'un des trois cas (1,0), (0,1) ou (1,1), alors il existe une relation de récurrence de type :
où αn+2 désigne un monôme (non nul) de degré 1 ou 2, et βn+2 un polynôme de degré 0 ou 1 et de terme constant égal à 1.
Le tableau suivant résume les trois configurations possibles :
Les flèches rouges indiquent les incréments utilisés pour passer de fn(x) à fn+1(x). Pour les deux premières configurations, ils correspondent à (1,0) ou (0,1), c'est-à-dire que soit le degré du numérateur, soit celui du dénominateur est incrémenté de 1 ; pour la dernière, ils sont tous deux incrémentés de 1. Les flèches vertes indiquent les incréments utilisés pour passer de fn+1 à fn+2. L'illustration précédente indique le degré des deux polynômes αn+2(x) et βn+2(x) utilisés pour exprimer la formule de récurrence. Pour la configuration 3, le seul cas où βn(x) est une constante est celui où fn(x), fn+1(x) et fn+2(x) se trouvent sur la diagonale principale, d'indice un couple (p, p).
Pour un n fixé, on notera pour simplifier (p, q), (r, s) et (u, v) les couples correspondant aux indices n, n + 1 et n +2. Il existe deux polynômes α et β tels que les égalités suivantes soient vérifiées. Les degrés de ces polynômes sont donnés par la figure du paragraphe :Ce système de Cramer a pour déterminant Δ = hk – hk et sa solution est :D'après la section précédente, Δ est un monôme de degré p + q + 1. Il en résulte — par le même argument pour son numérateur — que α est un monôme de degré 1 pour les configurations 1 et 2 et de degré 2 pour la configuration 3. De même, β est un monôme de degré 0 dans la configuration 1 et un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 dans les configurations 2 et 3 (de degré 1 en général, mais 0 si les trois couples d'indices sont sur la diagonale principale). Le coefficient constant de β vaut 1 :Immédiat, par identification des termes constants dans l'égalité
Fraction continue
La relation de récurrence permet d'écrire un approximant de Padé sous forme de fraction continue, en partant d'un bord du tableau. Plus précisément :
où les polynômes αn et βn sont définis pour n ≥ 2 par les relations du paragraphe précédent et pour n égal à 0 ou 1, par les choix suivants :
(Si p et q sont tous les deux nuls, on fait le choix menant à l'expression la plus simple : exemples ci-dessous.)
La fraction continue est dite régulière si les polynômes αj pour j > 1 sont tous de même degré, ainsi que les polynômes βj. Les tableaux du paragraphe précédent montrent qu'il en existe de trois types différents.
Fraction continue du premier type
Les fractions continues du premier type s'obtiennent avec des polynômes β égaux à 1 et des monômes α du premier degré. L'étude des relations de récurrence montrent qu'elles s'obtiennent nécessairement à l'aide d'une suite de réduites correspondant à la première configuration du paragraphe précédent. Quitte à remonter cette suite jusqu'au bord du tableau, on remarque qu'il en existe une pour chaque case à la frontière du tableau (ou deux, pour la case (0, 0)). Lagrange a développé celle de case initiale (0, 0) avec pour première réduite β = h = 1 et suivie des couples rouges sur la figure, obtenant :
En remarquant que , elle équivaut à sa symétrique par rapport à la diagonale principale, démontrée par Gauss comme exemple de ses fractions continues pour les fonctions hypergéométriques :
Il est possible d'en construire d'autres de cette nature, par exemple à l'aide de la série bleue illustrée sur la figure, éventuellement précédée (pour une expression plus simple) du couple (0, 2).
Fraction continue du deuxième type