L'échantillonnage consiste à prélever les valeurs d'un signal à intervalles définis, généralement réguliers. Il produit une suite de valeurs discrètesCommission électrotechnique internationale : Electropedia 704-23-02. Les articles 721-02-04 et 723-10-23 ont un texte identique. nommées échantillons.
Généralités
L'application la plus courante de l'échantillonnage est aujourd'hui la numérisation d'un signal variant dans le temps, mais son principe est ancien.
Depuis plusieurs siècles, on surveille les mouvements lents en inscrivant, périodiquement, les valeurs relevées dans un registre : ainsi des hauteurs d'eau des marées ou des rivières, de la quantité de pluieVoir entre autres . L'ethnologue Jack Goody note l'existence de chroniques du niveau des eaux dans la civilisation sumérienne ().. L'établissement des lois de la physique depuis le repose en partie sur des échantillonnages de phénomènes physiques périodiques, comme en astronomie, ou non périodiques, comme lorsqu'on décrit les trajectoires par une série de points. Les questions mathématiques liées à l'échantillonnage et à sa validité ont une longue histoire ; elles se rattachent aux études sur l'interpolation..
La technique de l'échantillonnage permet la reproduction des trois dimensions de l'image animée : le cinématographe, inventé dans les dernières années du , prélève des échantillons photographiques d'une scène à une cadence au début mal déterminée mais dont on sait par expérience qu'elle doit être supérieure à dix images par seconde pour ne pas incommoder les spectateurs.
La transmission d'une image par télégraphe, dès 1865 par le pantélégraphe, puis au début du par téléphone avec le bélinographe, décompose une des dimensions du document en intervalles réguliers, celui des lignes. On transmet une suite de signaux successifs analogues aux luminosités rencontrées sur chacun de ces échantillons. Le principe servira pour la télévision une trentaine d'années plus tard.
Les télécommunications ont développé la première application de l'échantillonnage dans le domaine temporel. Avant que la transmission numérique ne se généralise pour la téléphonie, on procédait au multiplexage de valeurs analogiques de signaux échantillonnés, comme on l'avait fait auparavant pour les signaux télégraphiques ; c'est cette application, pour une grande industrie, qui a donné lieu aux travaux théoriques sur le sujet de Claude Shannon. Ces travaux ne portent pas seulement sur l'échantillonnage, mais plutôt sur la quantité d'information et son encodage numérique. Le traitement numérique du signal va changer radicalement le traitement du signal.
vignette|Figure 1 : Échantillonnage et sous-échantillonnage de la fonction sinus
Le traitement numérique du signal par ordinateur exige que le signal soit converti en une suite de nombres (numérisation). Cette conversion se décompose, sur le plan théorique, en trois opérations : l'échantillonnage prélève, le plus souvent à intervalles réguliers, la valeur du signal ; la quantification transforme une valeur quelconque en une valeur prise dans une liste finie de valeurs valides pour le système ; le codage fait correspondre à chaque valeur valide pour le système un code numérique.
La théorie de l'échantillonnage s'applique à tout système capturant des valeurs à intervalles définis, y compris quand il y a codage sans quantification, comme dans le cas du relevé des valeurs par une personne, quand il n'y a ni quantification ni codage et que les valeurs échantillonnées restent analogiques, que les grandeurs aient une seule dimension ou plusieurs. La plupart du temps, l'intervalle entre chaque échantillon est constant. Pour déterminer la méthode d'échantillonnage, il faut avoir une connaissance préalable du signal. Il faut au moins déterminer une fréquence maximale susceptible d'y être présente.
Cadence d'échantillonnage
Le nombre d'échantillons par unité de temps s'appelle cadence d'échantillonnage ou taux d'échantillonnage. Quand l'échantillonnage se fait à intervalle régulier, on parle de fréquence d'échantillonnage.
L'objectif de l'échantillonnage est la transmission de l'information d'un signal. La question du choix de la fréquence d'échantillonnage se pose immédiatement : si la fréquence d'échantillonnage est trop faible, les acquisitions seront trop espacées et si le signal comporte des détails pertinents entre deux positions de capture, ceux-ci seront perdus ; plus la fréquence d'échantillonnage est élevée, et plus la transmission coûte en puissance de traitement, en capacités de transmission et en espace de stockage.
Pour choisir une fréquence d'échantillonnage qui soit suffisante, il faut que la connaissance des échantillons suffise pour calculer la valeur du signal dans tous les points intermédiaires. Claude Shannon a montré à quelle condition cela était possible, connaissant la largeur de bande de l'information codée dans le signal à transmettre.
Le théorème d'échantillonnage indique que si toutes les fréquences du signal sont inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, il peut être parfaitement reconstitué. En général, les fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage introduisent un recouvrement spectral également appelé Repliement de spectre (ang. ).
La conversion d'un signal échantillonné vers une fréquence d'échantillonnage inférieure oblige également à limiter la bande passante à moins de la moitié de la nouvelle fréquence d'échantillonnage.
Pour échantillonner efficacement, il faudrait donc : limiter strictement la largeur de bande du signal à la partie qui code l'information ; ceci fait, choisir une fréquence d'échantillonnage égale à deux fois la fréquence supérieure de la bande passante.
Comme on ne peut pas limiter la bande passante rigoureusement, mais seulement atténuer suffisamment à partir d'une certaine fréquence, on doit en fait : construire un filtre qui rejette le plus efficacement possible les fréquences au-delà de la limite supérieure de la bande passante du signal ; choisir une fréquence d'échantillonnage supérieure à deux fois la fréquence supérieure de la bande passante, de telle sorte que les fréquences inutiles à l'information, mais présentes dans le signal, qui seront repliées sur le signal reconstitué, soient suffisamment atténuées par le filtre pour se trouver au niveau du bruit de fond, ou au moins pour ne pas gêner la réception.
Échantillonnage non uniforme
Quand on a des informations sur la façon dont le signal est formé, on peut réduire le nombre d'échantillons. En premier lieu, le théorème d'échantillonnage affirme que le nombre d'échantillons suffisant pour reconstituer le signal est de deux fois la largeur de bande, par unité de temps. Si la limite inférieure de la bande utile est une fraction significative de la limite supérieure, on peut supprimer sans inconvénient une proportion correspondante des échantillons. En second lieu, si des lois gouvernent l'évolution du signal, la connaissance des échantillons passés permet de prédire dans une certaine mesure les échantillons suivants. Le signal échantillonné régulièrement présente un degré de redondance, de sorte qu'une compression de données pourrait réduire le débit numérique sans perte d'information. Connaissant ces lois, on peut appliquer, dès l'échantillonnage, le principe de l'acquisition comprimée. Dans ces cas, le pas d'échantillonnage n'est pas nécessairement fixe.
L'échantillonnage non uniforme peut s'imposer par les limitations de l'équipement, comme quand on observe un phénomène fortement répétitif, mais que le matériel n'est pas suffisamment rapide pour prendre des échantillons réguliers. Ce peut être aussi une stratégie de mesure, comme quand on note manuellement des mesures occasionnelles. Dans certains cas, cet échantillonnage peut être vu comme un échantillonnage régulier « avec des trous ». Le résultat d'un échantillonnage non uniforme doit associer l'information temporelle à la valeur mesurée.
Filtres anti-repliement
Le dispositif chargé d'éliminer, autant que faire se peut, les parties du signal qui ne contiennent aucune information pertinente, parce que leur fréquence est supérieure à la fréquence maximale qu'on envisage de transmettre, s'appelle un filtre anti-repliement (anti aliasing filter en anglais).
Fenêtre d'échantillonnage
Le théorème de Shannon-Nyquist s'intéresse à des objets purement mathématiques. Le point d'échantillonnage, dans ces raisonnements, peut être sans dimension. Les dispositifs réels ne captent un signal que sous forme d'une certaine quantité d'énergie, ce qui suppose que l'échantillon a une certaine dimension. Dans un signal électrique, la « porte » d'échantillonnage est ouverte pendant un certain temps ; dans un capteur CCD, chaque élément a une certaine surface. Cette nécessité détermine un effet d'ouverture qui affecte la transmission dans la bande passante.
Plus la largeur de la fenêtre d'échantillonnage se réduit, plus le bruit minimum possible dans la captation de l'échantillon augmente ; plus la largeur de la fenêtre d'échantillonnage augmente, et plus elle affecte la bande passante.
Avec une ouverture égale à 100 % du cycle, l'atténuation à la demi-fréquence d'échantillonnage atteint . Une ouverture sur 1/8 du cycle donne des résultats peu différents de l'idéal.
Stabilité de la fréquence d'échantillonnage
La représentation exacte du signal par ses échantillons exige la stabilité de la période entre deux échantillons. L'écart par rapport à l'instant théorique du prélèvement de l'échantillon s'appelle la gigue ( jitter).
Mathématiques de l'échantillonnage
La question de savoir combien d'échantillons il faut mesurer pour connaître suffisamment un phénomène physique a été posée dès le . Certains auteurs estiment que le théorème d'échantillonnage est un cas particulier d'un résultat démontré par Cauchy en 1827 et en 1841, assertion contestée. Shannon lui-même renvoie à des mathématiciens antérieurs, notamment Edmund Taylor Whittaker.
La démonstration classique du théorème par Claude Shannon, qui fait partie d'un article sur la détermination de la quantité d'information dans un signal limité en fréquence et en présence de bruit, se base sur la transformation de Fourier. Cette opération ne peut donner un spectre limité en fréquences qu'avec des signaux supposément infinis dans le temps, fait remarquer Dennis Gabor dans un article publié peu de temps auparavant. Mais les écarts à la rigueur mathématique, répond Shannon, sont de nulle importance si les erreurs qu'ils engendrent sont très inférieures au bruit de fond.