Un carré magique d'inverses de nombres premiers est un carré magique qui peut être obtenu en écrivant sur lignes successives le développement décimal des divisions de , ... . Le plus petit nombre à avoir cette propriété est le 19.

Explication En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,428574285742857… De façon fortuite, les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :

1/7 = 0, 1 4 2 8 5 7… 2/7 = 0, 2 8 5 7 1 4… 3/7 = 0, 4 2 8 5 7 1… 4/7 = 0, 5 7 1 4 2 8… 5/7 = 0, 7 1 4 2 8 5… 6/7 = 0, 8 5 7 1 4 2…

Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne et chaque colonne donneront la même somme, en l'occurrence 1+4+2+8+5+7=27. Les diagonales ne donnant cependant pas 27, il ne s'agit pas d'un carré magique.

1 4 2 8 5 7 2 8 5 7 1 4 4 2 8 5 7 1 5 7 1 4 2 8 7 1 4 2 8 5 8 5 7 1 4 2

Tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique, mais seuls quelques-uns constituent des carrés magiques.

Carré magique d'inverses de 19 Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :

01/19 = 0, 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 … 02/19 = 0, 1 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 2… 03/19 = 0, 1 5 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 6 3… 04/19 = 0, 2 1 0 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 6 8 4… 05/19 = 0, 2 6 3 1 7 8 9 4 7 3 6 8 2 1 0 5… 06/19 = 0, 3 1 5 7 8 4 7 3 6 8 4 1 0 5 2 6… 07/19 = 0, 3 6 8 4 2 1 5 2 6 3 5 7 8 9 4 7… 08/19 = 0, 4 2 1 0 5 2 6 1 5 8 9 4 7 3 6 8… 09/19 = 0, 4 7 3 6 8 4 2 1 2 6 3 1 5 7 8 9… 10/19 = 0, 5 2 6 3 1 5 7 8 7 3 6 8 4 2 1 0… 11/19 = 0, 5 7 8 9 4 7 3 8 4 1 0 5 2 6 3 1… 12/19 = 0, 6 3 1 5 7 8 4 7 3 6 4 2 1 0 5 2… 13/19 = 0, 6 8 4 2 1 5 2 6 3 1 5 8 9 4 7 3… 14/19 = 0, 7 3 6 8 2 1 0 5 2 6 3 1 7 8 9 4… 15/19 = 0, 7 8 9 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 3 1 5… 16/19 = 0, 8 4 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 3 6… 17/19 = 0, 8 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 7… 18/19 = 0, 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 …

Liste des premiers nombres donnant un carré magique d'inverses Les carrés magiques d'inverses peuvent être obtenus en base 10 ou dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :

Nombre premier Base Total 19 10 81 53 12 286 53 34 858 59 2 29 67 2 33 83 2 41 89 19 792 167 68 5 561 199 41 3 960 199 150 14 751 211 2 105 223 3 222 293 147 21 316 307 5 612 383 10 1 719 389 360 69 646 397 5 792 421 338 70 770 487 6 1 215 503 420 105 169 587 368 107 531 593 3 592 631 87 27 090 677 407 137 228 757 759 286 524 787 13 4 716 811 3 810 977 1 222 595 848 1 033 11 5 160 1 187 135 79 462 1 307 5 2 612 1 499 11 7 490 1 877 19 16 884 1 933 146 140 070 2 011 26 25 125 2 027 2 1 013 2 141 63 66 340 2 539 2 1 269 3 187 97 152 928 3 373 11 16 860 3 659 126 228 625 3 947 35 67 082 4 261 2 2 130 4 813 2 2 406 5 647 75 208 902 6 113 3 6 112 6 277 2 3 138 7 283 2 3 641 8 387 2 4 193

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Crédit d'auteurs

Catégorie:Carré magique