On appelle mouvement képlérien la description du mouvement des planètes par Johannes Kepler (1571 - 1630) à l'aide de lois générales appelées les lois de Kepler. L'établissement de ces lois a été réalisé empiriquement par Kepler à partir des tables établies par son maître Tycho Brahe. Elles constituent, avec la révolution copernicienne qui l'a précédé, un tournant dans l'histoire des sciences qui prit naissance au début du .

Environ cinquante ans plus tard, la mécanique rationnelle naît avec les Principia publiés par Isaac Newton. Ces travaux sont à l'origine de la mécanique céleste classique ; en particulier, elles permettent de démontrer les lois cinématiques de Kepler à partir de considérations de dynamique. Le mouvement képlérien, né de façon empirique, a donc trouvé une justification théorique ainsi qu'une description plus précise. Durant le siècle suivant, le , et jusqu'au siècle, les mathématiciens et physiciens ont travaillé à éclaircir cette théorie, que ce soit en redémontrant ses lois où en leur trouvant de nouveaux champs d'application.

Avant Kepler Dans l'Antiquité Ptolémée (90-168) effectue des travaux sur l'équant.

Au Au , les scientifiques principaux qui ont étudié le mouvement des planètes sont Copernic (1543), à l'origine de la « révolution copernicienne »cf Alexandre Koyré (1892 -1964), historien des sciences. et Tycho Brahe (1546 - 1601) avec son « équivalence des systèmes ».

Copernic avait soutenu en 1543 que les planètes tournaient autour du Soleil, mais il s'appuyait sur le mouvement circulaire uniforme, hérité de l'antiquité grecque, et les moyens mathématiques n'étaient pas si différents de ceux utilisés par Ptolémée pour son système géocentrique.

Prédécesseurs directs À la même époque que Kepler, plusieurs savants travaillent à justifier ou améliorer le modèle copernicien.

Galilée (1564 - 1642) a été le premier astronome à utiliser une lunette astronomique. Ses travaux sur le mouvement des corps célestes concernent notamment les orbites circulaires, et les quatre plus grands satellites de Jupiter, qu'il avait initialement appelés satellites médicéens en l'honneur de ses mécènes, la famille des Médicis.

Les autres précurseurs de Kepler de cette époque sont Jeremiah Horrocks (1619 - 1641), et le centre de masse, et John Wallis (1616 - 1703) et ses travaux précurseurs de Isaac Newton, sur le centre de gravité du système Terre-Lune.

Les lois de Kepler, puis les lois du mouvement de Newton

Les lois de Kepler (1609 - 1618) décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour du Soleil. Elles ont été découvertes par Johannes Kepler à partir des observations et mesures de la position des planètes faites par Tycho Brahe. Ces mesures étaient très précises pour l'époque, mais elles ont nécessité des calculs laborieux1) Dans une lettre à l'empereur Rodolphe, Kepler dit que par manque d'argent, il pouvait rarement disposer d'un assistant pour vérifier ses calculs et qu'il a dû refaire ses calculs soixante-dix fois, Jean-Pierre Friedelmayer de l'IREM de Strasbourg indique comme sources secondaires "Les cahiers de Science et vie Hors-série "2) Kepler n'a découvert qu'en 1618 que les tables de logarithmes de John Neper (1550 - 1617) rendaient ces calculs moins complexes. Il a découvert leur importance via un ouvrage de Benjamin Ursinus (de) (1646 - 1720) Source : Xavier Lefort de l'IREM des Pays de Loire indique comme source primaire les lettres de Kepler.Les points 1 et 2 peuvent être retrouvés dans le livre "Histoire de logarithmes" de 2006 Éditions Ellipses, afin de vérifier les lois qu'il a établies.

Les orbites elliptiques, telles qu'énoncées dans les deux premières lois de Kepler permettent d'expliquer la complexité du mouvement apparent des planètes dans le ciel sans recourir aux épicycles des modèles précédents (modèle ptoléméen pour l'Antiquité, et modèle copernicien pour ses contemporains).

Malgré le retentissant procès de Galilée (qui dut abjurer sa conception copernicienne de l'univers le ), le philosophe et mathématicien René Descartes verra, quelques années plus tard, le triomphe de sa méthode, d'après laquelle les sciences de la Nature reposent sur la méthode expérimentaleLa méthode expérimentale débute avec l'expérience première. Une fois l'expérience apurée de ses artefacts de mesure, une théorie peut tenter de l'expliquer. Une autre peut ensuite survenir, plus précise et/ou plus englobante.Note d'épistémologie : il en résulte qu'on ne pourra plus jamais dire qu'une théorie est vraie pour toujours. Seuls des théorèmes de mathématiques ou de physique théorique ont statut de vérité définitive dans le cadre d'« axiomes de départ ». Entre deux théories explicatives, on choisira la plus simple (principe du rasoir d'Occam). Entre deux théories non compatibles, il y a problème en suspens, jusqu'à avancée réconciliatrice. Jamais une expérience ne saurait être cruciale pour justifier une théorie. Elle ne peut être cruciale que pour mettre en défaut une théorie : encore faudra-t-il être un analyste aigu du langage et des artefacts. Mais surtout, les arguments d'autorité de l'Église n'auront plus cours, en mécanique, malgré des tentatives avortées d'Equivalence des Hypothèses : on ne brûlera plus un Giordano Bruno (1600).. Pendant un temps, la théorie des tourbillons de René Descartes fut une rivale de la théorie de Newton, puis elle fut rapidement supplantée par celle de Newton.

Christopher Wren fit le pari. avec Halley et Hooke qu'une loi sur la gravitation pouvait expliquer les orbites elliptiques.

En 1679, Robert Hooke fut le premier à remarquer que l'attraction entre deux corps célestes semblait être inversement proportionnelle au carré de la distance entre ces deux corps..

En 1680-1681, John Flamsteed adresse trois lettres à Isaac Newton où il lui présente sa théorie fondée sur l'existence de forces d'attractions et de répulsions semblables à celles de deux aimants entre le Soleil et la comète. Mais Newton récuse à l'époque la possibilité d'une interaction entre les deux astres : il n'applique pas encore aux comètes, qui pour lui ont une trajectoire rectiligne et n'appartiennent pas au système solaire, les mêmes règles que pour les planètes.

En 1687, s'appuyant sur les travaux de Galilée, Kepler et Huygens, Isaac Newton établit la loi de la gravitation qui lui permet d'expliquer les trois lois de Kepler.

Les mesures de différents scientifiques de l'époque confirmèrent les travaux de Newton. Il s'agit en particulier des travaux de Jean Richer (1672, en Guyane), Jean Picard (1620 - 1682), et Halley : à Sainte-Hélène, Edmond Halley confirma l'influence de la latitude sur la période des horloges à balancier (due à une différence infime de force centrifuge au niveau de l’équateur).

Quelques démonstrations mathématiques du mouvement képlérien Depuis la découverte des trois lois de Kepler sur le mouvement des planètes, il y a de nombreuses démonstrations relatives au mouvement képlérien dont les plus anciennes datent du . En voici quelques-unes.

Newton (1684)

La première, celle de Newton en , est géométrique, le temps étant évalué par l'aire balayée ( loi de Kepler) : l'analyse en est faite dans l'Exégèse des Principia.

Hermann (1710)

La plus simple (1710 et 1713) est celle de Jakob Hermann (1678-1733), élève de Jacques Bernoulli (1654-1705) : il écrit à Jean Bernoulli (1667-1748) : on remarque que l'hodographe est un cercle (notion de vecteur excentricité) : en calculant le produit scalaire e.r, on trouve l'ellipse et son péricentre. L'analyse est faite dans Invariant de Runge Lenz.

Laplace la reprendra dans son traité de « Mécanique Céleste ».

Que cela est vite dit dans notre langage moderne ! En réalité, la démonstration géométrique est la remarque classique sur le rôle des podaires dans le cas de champs centraux. Danjon remarque (avec Hamilton) que l'antipodaire de l'inverse d'un cercle est une conique : cela était enseigné encore au baccalauréat des années 1960 (Cf. Camille Lebossé & EMERY, cours de mathématiques élémentaires).

Quant à Hermann, c'est un tour de force :

Il possède trois intégrales premières en coordonnées cartésiennes tirées de et idem en y.

Éliminer la vitesse : on trouve : c'est une ellipse (Cf. conique, Kepler). Mais comment a-t-il trouvé les deux intégrales premières du vecteur excentricité ? par un raisonnement analytico-géométrique horriblement compliqué ! On sait aujourd'hui le faire par la théorie de la représentation linéaire des groupes (Moser et SO(4) (en) : 1968). On trouvera sur ce sujet un article d'Alain Guichardet dans la Gazette des mathématiciens (été 2008).

Transmutation de la force par Newton

La plus surprenante est celle de la transmutation de la force (Newton, retrouvée par Goursat (1889)).

Keill (1708) : démonstration mathématique

La classiqueNote de détail : Alain Chenciner et d'autres préfèrent la notation i = I/2, et/ou j = J/2. : Newton-Keill (en 1708) - Jean Bernoulli (1719)

Le problème est plan, si la force est centrale. Le plan de phase est donc (). Les deux équations du PFD (principe fondamental de la dynamique) sont :

et la même en y. [Évidemment dépend de r!]. Cette notation rappelle celle de Hooke. Mais elle n'a rien à voir, sinon que la symétrie est centrale.

Choisir trois fonctions invariantes par rotation : , strictement positif, , de sorte que , , énergie cinétique.

Remarquer cette particularité : r² est choisie comme variable, et non r. Et comme J est non nulle, I va jouer le rôle d'une échelle de temps au moins sur une demi-période, du périgée à l'apogée.

Démontrer que le problème se réduit au système différentiel (S) :

(théorème du viriel !) (loi de Newton!)

Keill utilise alors l'échelle de temps I ; le système se réduit à :

En éliminant Omega² (et quelle que soit sa valeur ! donc c'est vrai pour toute force centrale !)

.

C'est un vrai tour de force : au début du , on vient de réécrire :

Emmy Noether connaissait-elle cette démonstration due à l'invariance par rotation ?

Puis, l'invariance temporelle donne la conservation de l'énergie :

, où V(I) est l'énergie potentielle relative à la force centrale (=

Ces deux ensembles de surfaces feuillettent l'espace (I, J, K) et leur intersection donne l'orbite du mouvement dans cet espace.

Éliminer K conduit à travailler dans le demi-plan (), c'est-à-dire dans un plan de phase presque usuel (on joue avec r² plutôt qu'avec r) :

,

ce qui est l'équation de Leibniz (1689), mais en notation I = r². (Remarquer que tout résulte de cette circonstance, non évidente du temps où les vecteurs n'existaient pas) :

)

et pour finir, dt = dI/2J donne le mouvement sur cette orbite de phase et la primitive de 2J(I) donne l'action S(I) du problème.

Évidemment, actuellement, nous repasserions immédiatement en coordonnées (r et r'). Il n'empêche que voilà décrite la solution de Keill qui témoigne d'une virtuosité tombée dans l'oubli de l'HistoireNote d'histoire: cette équation ayant été écrite par Lagrange sous cette forme, le H ne saurait signifier « valeur de l'Hamiltonien » ! Peut-être faut-il y voir un hommage à Huygens (?), premier à utiliser la généralisation du théorème de l'énergie cinétique de Torricelli ? peut-être est-ce une simple notation fortuite. La suite est très classique et correspond à différents paramétrages dans le cas de Kepler. L'équation de Leibniz se réécrit dans ce cas :

qui est une conique en J et r, ellipse si H est négatif de grand axe :

Il est usuel alors de paramétrer via l'« anomalie excentrique » :

,

et « miraculeusement » :

,

qui s'intègre en donnant la fameuse équation de Kepler. En contrepartie l'équation en thêta est légèrement plus compliquée à intégrer (primitive de ) d'où :

.

Clairaut (1741) : démonstration mathématique

La méthode de Clairaut (1741), reprise par Binet consiste à écrire l'équation de Leibniz à l'aide de u := 1/r :

et cette fois le paramétrage adéquat est :

et