Le jeu de la Vie (Game of Life) est un automate cellulaire imaginé par John Horton Conway en 1970. Malgré des règles très simples, il est Turing-complet.
Règles Le jeu de la Vie est un « jeu à zéro joueur », c'est-à-dire qu'il ne nécessite aucune intervention du joueur lors de son déroulement. Il s’agit d’un automate cellulaire, un modèle où chaque état conduit mécaniquement à l’état suivant à partir de règles préétablies.
Le jeu se déroule sur une grille à deux dimensions, théoriquement infinie, dont les cases peuvent prendre deux états distincts : « vivante » ou « morte ».
Chaque cellule possède huit voisines, qui sont les cellules adjacentes horizontalement, verticalement et diagonalement.
À chaque itération, l'état d’une cellule est entièrement déterminé par l’état de ses huit cellules voisines, selon les règles suivantes : frame|Une chute de « bombes » non périodique.
une cellule morte possédant exactement trois cellules voisines vivantes devient vivante (elle naît) ; une cellule vivante ne possédant pas exactement deux ou trois cellules voisines vivantes meurt. Ainsi, la configuration donne au tour suivant la configuration qui redonne ensuite la première.
On peut également formuler cette évolution ainsi :
gauche si une cellule a exactement trois voisines vivantes, elle est vivante à l’étape suivante. C’est le cas de la cellule verte dans la configuration de gauche ;
gauche si une cellule a exactement deux voisines vivantes, elle reste dans son état actuel à l’étape suivante. Dans le cas de la configuration de gauche, la cellule située entre les deux cellules vivantes reste morte à l’étape suivante ;
gauche si une cellule a strictement moins de deux ou strictement plus de trois voisines vivantes, elle est morte à l’étape suivante. C’est le cas de la cellule rouge dans la configuration de gauche (Ainsi que de celle située juste au dessus, malheureusement oubliée sur ce schéma).
L'état suivant d'une cellule est : (S = 3) OU (E = 1 ET S = 2).
Avec : S : nombre actuel de cellules vivantes dans son voisinage (entier naturel compris entre 0 et 8 inclus) ; E : état actuel de la cellule (entier naturel égal à 0 pour une cellule morte et égal à 1 pour une cellule vivante).
Légende des schémas Afin de représenter le processus, les cellules vivantes sont généralement représentées colorées sur la grille, sur un fond de cellules mortes incolores.
Les schémas de cet article suivent les conventions de couleur suivantes : bleu : cellules en cours de vie ; vert : cellules naissantes ; rouge : cellules mourantes ; jaune : cellules ne vivant qu’une seule génération.
Histoire Le jeu de la Vie est inventé en 1970 par John Horton Conway, professeur de mathématiques à l’université de Cambridge, au Royaume-Uni.
J. H. Conway s’intéresse alors à un problème proposé par le mathématicien John Leech dans le domaine de la théorie des groupes et qui avait trait à l’empilement dense de sphères à 24 dimensions (connu comme le réseau de Leech). Il découvre quelques propriétés remarquables et publie les résultats de son étude en 1968. Conway est également intéressé par un problème présenté vers les années 1940 par un mathématicien renommé : John von Neumann.
Ce dernier a essayé de trouver une machine hypothétique qui pourrait s’auto-reproduire. Il y parvient en construisant un modèle mathématique aux règles complexes sur un repère cartésien. Conway simplifie les idées de von Neumann en couplant ses résultats précédents sur les réseaux de Leech avec ses travaux sur les machines autoréplicatives, et donne ainsi naissance au « jeu de la Vie ».
Le premier contact entre le grand public et ces travaux se fait en 1970 à travers une publication dans Scientific American dans la rubrique de Martin Gardner : « »..
Gardner écrit dans ses colonnes que « le jeu de la Vie » rendit Conway rapidement célèbre et qu'il permit également d'ouvrir un nouveau champ de recherche mathématique, celui des automates cellulaires. En effet, selon lui, les analogies du jeu de la Vie avec le développement, le déclin et les altérations d’une colonie de micro-organismes, le rapprochent des jeux de simulation qui miment les processus de la vie réelle.
D’après Gardner, Conway expérimenta plusieurs jeux de règles concernant la naissance, la mort et la survie d’une cellule avant d’en choisir un où la population des cellules n’explose pas (ce qui arrive souvent lorsque les conditions de naissances sont moins strictes), mais où des structures intéressantes apparaissent cependant facilement. À l’origine, John Conway y jouait à la main, en utilisant un plateau de go pour grille et des pierres de go pour matérialiser les cellules vivantes.
Plusieurs structures intéressantes furent découvertes, comme le « planeur », un motif qui se décale en diagonale toutes les quatre générations, ou divers « canons » qui génèrent un flux sans fin de planeurs. Ces possibilités augmentent l’intérêt pour le jeu de la Vie. Sa popularité augmente d’autant plus vite à une époque où une nouvelle génération de mini-ordinateurs plus économiques est commercialisée, ce qui permet de tester des structures pendant la nuit, lorsque personne d’autre n'utilise les ordinateurs.
Vers la fin des années 1980, la puissance des ordinateurs est suffisante pour permettre la création de programmes de recherche de structures automatiques efficaces ; couplés au développement massif d’Internet, ils conduisent à un renouveau dans la production de structures intéressantes.
Au bout du compte, le jeu de la Vie attire plus l’intérêt du grand public sur les automates cellulaires (entre autres grâce à divers économiseurs d’écran) que, par exemple, tous les travaux de Edgar Frank Codd, spécialiste reconnu du domaine et auteur de l’ouvrage de référence (1968)..
Structures Des structures, constituées de plusieurs cellules, peuvent apparaître dans l’univers ; les plus classiques sont : les structures stables ; les structures périodiques, ou oscillateurs ; les vaisseaux ; les mathusalems.
Il existe également d’autres structures, qui apparaissent beaucoup plus rarement (voire pas du tout pour les jardins d'éden) dans l’univers de jeu :
les puffeurs ; les canons ; les jardins d’Éden ; les spacefillers.
Structures stables
Les structures stables (en anglais ) sont des ensembles de cellules ayant stoppé toute évolution : elles sont dans un état stationnaire et n’évoluent plus tant qu’aucun élément perturbateur n’apparaît dans leur voisinage. Un bloc de quatre cellules est la plus petite structure stable possible.
Certaines figures se stabilisent en structures florales après une succession d'itérations comparables à une floraison.
Oscillateurs
Les oscillateurs se transforment de manière cyclique, en revêtant plusieurs formes différentes avant de retrouver leur état initial. Des figures de ce type sont très nombreuses : on en connaît actuellement des centaines.. La « grenouille » est une structure qui se répète toutes les deux générations.
Elles peuvent apparaître relativement facilement dans l’univers de jeu par l’évolution spontanée de « graines » beaucoup plus simples.
Vaisseaux
Les vaisseaux (en anglais , « vaisseaux spatiaux ») sont des structures capables, après un certain nombre de générations, de produire une copie d’elles-mêmes, mais décalées dans l’univers du jeu.
Le déplacement d’un vaisseau qui retrouve après n étapes sa configuration initiale déplacée de A cases horizontalement et de B cases verticalement est noté A-B, et sa vitesse (A, B)c/n, où c représente la « vitesse de la lumière » dans le jeu de la Vie, c'est-à-dire la vitesse maximale d'une cellule par génération. L’existence de vaisseaux de type A - B pour A et B quelconques a été démontrée. On distingue : des vaisseaux de type transversal (ou orthogonaux), c’est-à-dire A = 0 ou B = 0 ; des vaisseaux de type diagonal, avec A = ± B ; des vaisseaux ayant un déplacement oblique, c'est-à-dire A ≠ ± B. On parle aussi de « vaisseau cavalier » (knightship en anglais).
Le premier vaisseau oblique, appelé Gemini, a été découvert par Andrew J. Wade en 2010 Adam P. Goucher, Oblique Life spaceship created, Game of Life News, 19 mai 2010, (consulté le 11 mai 2010).. Il se déplace de verticalement et de horizontalement toutes les . Des variantes existent où sa vitesse et sa période sont différentes. C'est aussi un constructeur universel.
On prouve également qu’un vaisseau de type A - B a nécessairement une période N ≥ 2(A+B)., donc que la vitesse maximale pour un vaisseau diagonal est (1, 1)c/4, et que celle pour un vaisseau orthogonal (horizontal) est (2, 0)c/4 = (1, 0)c/2.
On sait construire des vaisseaux de taille et de période aussi grandes que souhaitées, en utilisant des séries de composants.. Le planeur est le plus petit vaisseau du jeu de la Vie, qui possède aussi la plus grande vitesse pour un vaisseau diagonal.
Mathusalems Les mathusalems sont des structures actives qui mettent un certain temps avant de se stabiliser. Certains, comme les « lapins », mettent plus de avant de se stabiliser en un nombre plus ou moins important de débris variés.
Puffeurs Les puffeurs (de l’anglais , « générateur de fumée ») sont des configurations qui se déplacent en laissant derrière elles une traînée constituée de débris.
Canons
Les canons sont des configurations qui émettent un autre motif, tel qu'un vaisseau, à intervalles réguliers. Ces vaisseaux sont des motifs qui continuent de se déplacer sur la grille de jeu. La périodicité des canons, soit l'intervalle de temps après lequel ils répètent leur comportement, peut varier. Voici quelques précisions sur les différents types de canons :
canon à planeurs (glider gun) : le plus célèbre est le canon à planeurs de Gosper, qui produit un planeur toutes les 30 générations. Il a été découvert par Bill Gosper en 1970 et fut la première structure connue à avoir une croissance infinie ;
autres canons : il existe d'autres canons qui produisent des vaisseaux spatiaux ou d'autres motifs à différents intervalles. Certains peuvent le faire toutes les 15, 23, 60, 120, 240 générations, etc. La période dépend de la complexité de la structure du canon ;
canons « pseudo-aléatoires » : il existe également des sortes de canons qui produisent des vaisseaux de manière « pseudo-aléatoires ». Ces structures ne sont pas totalement imprévisibles, mais elles ont des règles sous-jacentes complexes qui rendent difficile la prévision exacte de quand un vaisseau sera émis.
La variation des périodes des canons est souvent exploitée par les passionnés pour construire des calculateurs ou d'autres structures complexes au sein de l'univers du jeu de la Vie.
De telles structures peuvent être créées à partir de puffeurs que l’on modifie afin que les débris s’agencent sous forme de navires. Le premier canon à avoir été découvert émet un planeur toutes les trente générations.
Jardins d'Éden vignette|Le premier jardin d’Éden trouvé en 1971, par Banks, Beeler et Schroeppel.
Un jardin d’Éden est une configuration sans passé possible : aucune configuration ne donne à l’étape suivante un jardin d’Éden.
La démonstration mathématique se fonde sur la combinatoire et se trouve notamment dans Winning Ways for your Mathematical Plays, livre publié en 1982 par Berlekamp, Conway et Guy.
Constructeurs universels
En 2010, Gemini, le tout premier constructeur universel du jeu de la Vie, fut découvert. Cette immense figure fait sur . En avançant, cette figure crée une copie d'elle-même en détruisant la précédente. L'opération prend environ de générations. Comme Gemini se déplace et ne laisse rien derrière lui, c'est aussi un vaisseau. C'est d'ailleurs le premier vaisseau à se déplacer obliquement, c'est-à-dire ni orthogonalement ni diagonalement.
Dimension et complexité