La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».
Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction se « rapproche » de celui de la limite.
Définition
Convergence uniforme Soient un ensembleEn particulier, la définition de la convergence uniforme a du sens même si l'espace de départ n'est pas muni d'une structure topologique. Cependant certaines propriétés phares de la convergence uniforme concernent des situations où l'espace de départ est nécessairement muni d'une topologie, par exemple la conservation de la continuité par passage à la limite., un espace métrique, et un sous-ensemble de . Soient une suite de fonctions définies sur et à valeurs dans , et une fonction définie sur à valeurs dans . On dit que la suite converge uniformément vers sur si : .
Remarque : en introduisant la notation
(dans laquelle la borne supérieure peut a priori être infinie), la propriété (1) est équivalente à : .
Autrement dit, converge uniformément vers sur si et seulement si .
Quelques explications
On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions converge simplement vers sur si : . Ici, l'indice dépend de alors que dans la proposition , l'indice n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine mais elle est pourtant essentielle :
Dans le cas de la convergence simple, pour tout élément de , on peut trouver un rang à partir duquel la distance devient très petite. A priori, si l'on choisit un dans autre que alors le rang à partir duquel la distance devient très petite peut être différent. Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance devient très petite pour n'importe quel à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers (voir Théorèmes de Dini).
Ainsi la suite des fonctions converge simplement mais pas uniformément sur ]–1, 1[, un problème survenant aux bords de l'intervalle.
Critère de Cauchy uniforme
Supposons que l'espace métrique est complet.
(C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques usuels, comme la droite réelle munie de sa valeur absolue ou, plus généralement, les espaces de Banach.)
Sous cette hypothèse, une suite de fonctions converge uniformément sur si (et seulement si) elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir : .
Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme. En outre, lorsque est muni d'une topologie pour laquelle les sont continues, le critère est vérifié sur dès qu'il l'est sur une partie dense de .
Convergence uniforme de fonctions continues
On a le résultat fondamental suivant :
Ou encore (par contraposition) une fonction discontinue ne peut pas être limite uniforme de fonctions continues.
Ceci s'applique en particulier aux fonctions continues sur ℕ ∪ {∞} (dans lequel ℕ est dense), c'est-à-dire aux suites convergentes : dans un espace complet, si chaque est une suite convergente et si la suite de suites converge uniformément vers une suite , alors cette suite est convergente.
Quand X n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple, de ℂ vers quand l'entier tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une série entière de rayon de convergence R converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, mais on ne peut pas dire mieux en général.
En fait, la continuité étant une propriété locale, la convergence uniforme sur « suffisamment » de parties de suffit à assurer la continuité de la fonction limite.
Exemples Lorsque est localement compact, si une suite de fonctions continues converge vers une fonction uniformément sur tout compact de alors est continue. On a la même conclusion lorsque est un espace métrique et un point arbitraire fixé de , si la convergence uniforme a lieu sur toute boule fermée de centre . C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle dans une algèbre de Banach.
Le résultat suivant, moins fort que le théorème de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.
Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe :
On notera également l'existence du résultat suivant, assurant la convergence d'une suite de fonctions à partir de celle de leurs dérivées, th. 7.17., th. 19. :
Distance uniforme
Dans le cas général, on munit l'ensemble Y des applications de X dans Y de la distance uniforme sur , définie par
où, rappelons-le, . On peut alors reformuler l'essentiel de ce qui précède : Définition de la convergence uniforme : converge uniformément vers sur si et seulement si dans l'espace métrique . Critère de Cauchy uniforme : si est complet alors l'est aussi. Convergence uniforme de fonctions continues : si est muni d'une topologie, le sous-ensemble des applications continues est fermé dans (donc est complet si l'est).
Diverses hypothèses sur les espaces et peuvent simplifier ou enrichir cette situation : Si est un espace compact alors sur , l'application est déjà une distance (sur ce sous-espace, elle ne prend que des valeurs finies), et est uniformément équivalente à . Si de plus est un espace vectoriel normé (dont la distance est celle associée à la norme ║ ║ par : ), alors est un espace vectoriel, sur lequel la distance est, elle aussi, associée à une norme, définie par :En particulier si est un espace de Banach alors aussi.
Critères de convergence uniforme pour les séries
Dans cette section, il n'est envisagé que le cas des fonctions réelles d'une variable réelle.
On trouve dans la littératureVoir par exemple Konrad Knopp, , 1922 (ou sa traduction, Knopp, , 1954). la mention de nombreux tests de convergence uniforme portant les noms d'Abel, de Dedekind, de du Bois-Reymond, de Dirichlet, de Weierstrass… Ces critères sont des critères pratiques, cas particuliers de la formule de sommation partielle d'une série, plus faciles à appliquer.
Critère de Weierstrass La série converge uniformément dans l'intervalle si les fonctions sont chacune majorées en valeur absolue sur l'intervalle par un nombre et que la série est convergente.
On dit dans ce cas que l'on a une série normalement convergente.
Critère d'Abel La série converge uniformément dans l'intervalle si la série converge uniformément dans , si de plus, pour toute valeur fixée de , la suite est monotone et enfin s'il existe un nombre indépendant de qui majore pour tout de et tout . On exprime cette dernière condition en disant que les fonctions sont uniformément bornées dans .
Critère de Dirichlet La série converge uniformément dans l'intervalle si les sommes partielles de la série sont uniformément bornées dans et si les fonctions convergent uniformément dans vers 0, la convergence étant monotone pour tout fixé.
Critère de Dedekind La série converge uniformément dans l'intervalle si la série admet des sommes partielles uniformément bornées, les fonctions tendent vers 0 uniformément dans et que la série converge uniformément dans .
Critère de du Bois-Reymond La série converge uniformément dans l'intervalle si les séries et convergent uniformément dans , les fonctions étant de plus uniformément bornées dans .
Un autre critère La série converge uniformément dans l'intervalle si les séries et convergent uniformément dans , les fonctions étant de plus uniformément bornées dans .
dont un corollaire immédiat est
La série converge uniformément dans l'intervalle si la série converge uniformément dans , les fonctions étant positives et les fonctions étant uniformément bornées dans .
Espace des fonctions numériques continues sur
On choisit dans cette section un intervalle compact de ℝ et = ℝ. Puisque ℝ muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé muni de la norme est complet.
Théorème de Weierstrass
Le théorème d'approximation de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisément, si est une fonction continue sur alors :
où ℝ[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.
Exemples
Exemples de suites de fonctions
La suite de fonctions puissances
On considère la suite de fonctions . Cette suite de fonctions converge simplement sur vers la fonction définie par
Puisque les fonctions de la suite sont continues et que la limite simple n'est pas continue (en ), la convergence n'est pas uniforme sur . Par densité, elle ne l'est donc pas non plus sur .
Par contre, la convergence est uniforme sur tout segment avec puisque
qui converge vers lorsque tend vers .
Exemples de séries de fonctions
La série de fonctions puissances
On considère la série de fonctions définie par . La série numérique converge si et seulement si . De plus, la somme partielle est .
Ainsi, cette suite de fonctions converge simplement sur vers la fonction définie par .
La convergence n'est pas uniforme sur : en effet, le reste d'ordre est .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Théorème d'Egoroff Théorème de Stone-Weierstrass Topologie compacte-ouverte Bibliographie Gilbert Arsac, Cauchy, Abel, Seidel, Stokes et la convergence uniforme - De la difficulté historique du raisonnement sur les limites, Hermann, 2013
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