Les tenseurs sont des objets mathématiques issus de l'algèbre multilinéaire permettant de généraliser les scalaires et les vecteurs. On les rencontre notamment en analyse vectorielle et en géométrie différentielle fréquemment utilisées au sein de champs de tenseurs. Ils sont aussi utilisés en mécanique des milieux continus.
Le présent article ne se consacre qu'aux tenseurs dans des espaces vectoriels de dimension finie, bien que des généralisations en dimension infinie et même pour des modules existent.
Principe général
Le principe est de généraliser les notions de scalaires et de vecteurs en dimension finie. Les tenseurs d'un type donné sont eux-mêmes membres d'un espace vectoriel : ils possèdent une addition et un produit par les scalaires ; ils sont indépendants d'un choix de base mais peuvent être représentés par des tableaux à plusieurs entrées pour un choix de base donnée.
S'y ajoutent deux opérations : un produit, dit tensoriel, permettant de multiplier deux tenseurs (éventuellement de natures distinctes) ainsi qu'une application linéaire qui réduit leur ordre, appelée contraction.
Comme évoqué ci-dessus les scalaires et les vecteurs constituent des exemples simples de tenseurs. Dans une base donnée, un vecteur (tenseur d'ordre 1) peut être représenté par la donnée d'un n-uplet de coordonnées. Les matrices n×n — qui peuvent représenter suivant les cas des endomorphismes, des bivecteurs ou encore des formes bilinéaires — forment une extension des n-uplets similaire à l'extension que représentent les n-uplets par rapport aux scalaires. Les objets descriptibles par des matrices constituent donc les premiers types de tenseurs non triviaux, appelés tenseurs d'ordre 2. En prolongeant la réflexion on peut imaginer, toujours de manière informelle, des matrices cubiques n×n×n, correspondant aux tenseurs d'ordre 3, et ainsi de suite.
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Les deux opérations classiques de la manipulation des tenseurs peuvent être intuitivement illustrées par certaines opérations matricielles. Il est en effet connu qu'en multipliant une matrice colonne par une matrice ligne (c'est-à-dire deux n-uplets) on obtient une matrice carrée (ou rectangulaire si les opérandes n'ont pas la même dimension). Il existe donc des transformations permettant d'augmenter l'ordre des tenseurs. Cette idée est à la base du produit tensoriel.
Inversement, le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne se réduit à un scalaire. On voit ici apparaître l'idée de contraction.
Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimensions finies
Il est pratique, avant d'étudier le produit tensoriel de vecteurs et de donner un sens plus précis au terme tenseur, de considérer les espaces vectoriels qui interviennent dans sa définition. On note que le même symbole, à savoir , est utilisé pour construire à la fois les tenseurs et les espaces auxquels ils appartiennent.
On notera par la suite l'espace vectoriel des applications k-linéaires de dans (c'est-à-dire linéaires par rapport à chacune de leurs k variables).
Définitions
Soient et deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif (en pratique il s'agit souvent de ou de mais d'autres corps sont possibles). On note le dual de . Le produit tensoriel de par — noté , ou s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps — est un cas particulier de produit tensoriel de modules. Une définition plus simplecar les 2 espaces vectoriels et sont de dimension finie peut être ici de le définir comme l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur le couple d'espaces vectoriels .
On rappelle par ailleurs qu'en dimension finie, on assimile sans problème à son bidual . On a donc de même :
Dans la théorie des catégories, les -espaces vectoriels (de dimension finie mais on peut généraliser en dimension quelconque) forment un exemple standard de catégorie monoïdale pour le produit tensoriel ainsi défini.
Propriétés
Associativité Les espaces vectoriels , et sont canoniquement isomorphes. Cette propriété permet de considérer le produit tensoriel comme associatif et d'assimiler le produit de k espaces de dimensions finies à l'espace des formes k-linéaires sur les espaces duaux. La mise en parenthèse est donc inutile :
Dimension La dimension d'un produit tensoriel d'espaces est égale au produit des dimensions de tous les espaces.
Le corps des scalaires étant un espace vectoriel de dimension 1 sur lui-même, il peut être utilisé dans le produit tensoriel. et sont canoniquement isomorphes à . On peut donc considérer comme une sorte d'élément neutre.
Puissances tensorielles On peut définir la -ième puissance tensorielle d'un espace , notée ou , par : pour , ; pour , en extrapolant les définitions précédentes, ; pour , le choix de permet de généraliser les formules de manière cohérente.
On a par ailleurs les propriétés :
Dualité Encore une fois par isomorphisme canonique on a :
Espaces des applications linéaires et multilinéaires L'espace vectoriel des applications linéaires de dans est canoniquement isomorphe à . Plus généralement, l'espace des applications k-linéaires de dans est canoniquement isomorphe à . Il est donc possible de confondre ces espaces.
À propos de la commutativité Il existe un isomorphisme entre et . En pratique les assimiler (c'est-à-dire rendre commutatif) n'est cependant pas toujours une bonne chose. C'est en particulier problématique lorsque . En effet, cette assimilation pourrait dans ce cas amener à croire que le produit tensoriel de deux éléments (décrit ci-dessous) est commutatif, ce qui n'est pas le cas.
Dans la suite de cet article on considérera donc, sauf mention contraire, et comme deux espaces distincts. Les considérations liées à leur isomorphismes sont abordées dans ce paragraphe.
Tenseurs et produit tensoriel sur les éléments
L'intérêt premier du produit tensoriel est de définir une opération sur les vecteurs (ou plus généralement les éléments des modules) ayant des propriétés similaires à celle d'un produit. Cela dit, contrairement aux produits habituels, le produit tensoriel n'est pas une opération interne : il peut s'effectuer sur des vecteurs issus d'espaces vectoriels différents et son résultat (à quelques exceptions près) n'appartient à aucun des espaces en question. Les éléments intervenant dans de tels produits portent le nom de tenseurs.
Définition
Soit et deux formes linéaires. On notera l'application définie par :
Il s'agit d'une forme bilinéaire : on a donc . Le produit se généralise facilement aux formes multilinéaires.
Comme en dimension finie , tout vecteur (respectivement ) peut être assimilé à une forme linéaire sur (respectivement ). On définit ainsi de manière générale le produit tensoriel de et , noté , comme forme bilinéaire sur . center
La forme bilinéaire est donc un tenseur appartenant à . La forme bilinéaire est quant à elle un tenseur appartenant à . Les tenseurs peuvent donc être définis (en dimension finie) comme des formes multilinéaires munis d'un produit .
Remarques Réciproquement, tout tenseur ne s'écrit pas nécessairement comme un produit . En revanche, il peut toujours être décomposé en combinaison linéaire d'éléments de la forme où et . C'est-à-dire qu'on peut toujours trouver des familles de vecteurs et et une famille de scalaires telles que . On note bien que tout vecteur est un type de tenseur particulier (il est toujours assimilable à une forme 1-linéaire) et que tout tenseur fait partie d'un espace vectoriel. L'utilisation du terme tenseur sous-entend l'usage du produit tensoriel. En pratique le terme tenseur est surtout utilisé à propos de produits de vecteurs d'un même espace ou de son dual .
Propriétés du produit tensoriel
Associativité Grâce à l'isomorphisme canonique on peut considérer que le produit tensoriel est associatif. Autrement dit . De plus on peut voir le tenseur comme une forme trilinéaire : . D'une manière générale si on se donne vecteurs , le tenseur est un élément de . C'est donc une forme -linéaire. center
Non commutativité Si et , les tenseurs et appartiennent alors tous les deux au même espace . Néanmoins on prendra bien soin de noter que dans le cas général . center
Distributivité Le produit tensoriel se comporte bien comme un produit vis-à-vis de l'addition des espaces vectoriels :
Généralisation des produits usuels On notera que le produit tensoriel généralise le produit par un scalaire défini sur les -espaces vectoriels ainsi que le produit dans le corps . On a ainsi et . center
Bases des espaces produits Soit une base de et une base de . Alors la famille forme une base de . Par conséquent tout élément admet une unique famille de coordonnées sur cette base :
Cette formule est bien cohérente avec le fait que . Les coordonnées sont explicitement calculables en utilisant les bases duales et par la formule :
Ces formules se généralisent pour espaces vectoriels.
Opération de contraction
Définition
Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps tel que . On suppose qu'il existe deux indices et tels que (ou de manière complètement équivalente ). Soit une base de ; la base duale est donc une base de . Étant donné un tenseur , l'application
est une forme -linéaire sur , autrement dit un tenseur de . Par ailleurs cette forme est indépendante du choix de la base de . L'opération s'appelle contraction de sur les indices et . Elle est parfois notée
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Il est important de garder à l'esprit que l'opération de contraction n'est possible que pour deux indices correspondant à des espaces duaux entre eux et n'a aucun sens dans d'autres cas. Il s'agit en outre d'une opération linéaire de dans .
Produit contracté
En pratique la contraction est souvent utilisée au sein d'une opération appelée produit contracté et notée , ou même simplement . Le produit contracté de deux tenseurs est le résultat de leur produit tensoriel suivi d'une contraction d'un indice du premier par un indice du second. On notera que les notations sont lacunaires : elles ne précisent pas quels sont les indices de contraction. Par défaut, il s'agit en général du dernier indice du premier tenseur et du premier indice du second. Comme pour la contraction, le produit contracté n'a de sens que si les indices contractés correspondent à des espaces duaux. center
Propriétés du produit contracté
Associativité Le produit contracté est associatif si le tenseur du centre a au moins deux indices. Ainsi pour , et , on a bien . Si le tenseur du centre n'a qu'un indice, il est possible que l'un des deux parenthésages n'ait pas de sens, et même dans le cas contraire, l'égalité ne sera pas réalisée dans le cas général.
Distributivité Le produit contracté se comporte bien comme un produit vis-à-vis de l'addition des espaces vectoriels :
Image par le tenseur ou produit contracté Étant donné un tenseur et vecteurs tels que on peut effectuer deux opérations : calculer l'image des vecteurs par (qui, rappelons-le, peut toujours être vue comme une forme multilinéaire) : ; calculer les produits contractés successifs de par chaque vecteur .
Il s'agit en fait d'une seule et même opération : center
D'une manière plus générale, si le tenseur construit en évaluant la -ème position de est égal au produit contracté de en son -ème indice par en son unique indice. Dès lors il devient possible d'occulter complètement l'aspect fonctionnel de pour ne considérer que ses propriétés algébriques.
Crochet de dualité Le crochet de dualité est donc un cas particulier du produit contracté : . center
Image par une application linéaire L'application linéaire pouvant être vue comme un tenseur , on peut calculer l'image d'un vecteur comme étant le produit contracté .
Composée d'applications linéaires Si et sont représentées par les tenseurs et , alors l'application composée peut être représentée par le tenseur .
Produit contracté plusieurs fois